Aktive Menge bestimmen. Lineares Programm

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 4 (4 Punkte) Betrachten Sie das Optimierungsproblem, welches durch
\( \begin{array}{lr} \min & \\ \text { u.d.N. } \quad g_{1}(x):=\frac{1}{2} x_{1}+x_{2}-4 & \leq 0 \\ g_{2}(x):=-x_{1}+x_{2}-2 & \leq 0 \\ g_{3}(x):=-\frac{1}{2} x_{1}+x_{2} & \geq 0 \\ g_{4}(x):=x_{1} & \geq 0 \\ g_{5}(x):=x_{2} & \geq 0 \end{array} \)
gegeben ist.
(i) Skizzieren Sie die zulässige Menge und überprüfen Sie grafisch und rechnerisch, ob die Punkte \( a=(1,1)^{T}, b=(2,0)^{T}, c=\left(\frac{4}{3}, \frac{10}{3}\right)^{T}, d=\left(\frac{5}{2}, \frac{11}{4}\right)^{T} \) und \( e=(0,0)^{T} \) zulässig sind.
(ii) Geben Sie zu den zulässigen Punkten jeweils die aktive Menge an.

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist es, dass ich mit dem letzten Satz überhaupt nichts anfangen kann.

In der VL hatten wir die "aktive Menge" wie folgt definiert:

"Sei M {x∈Rⁿ : gi(x) = 0 /i∈ξ (ξ für equality Menge ),

gi(x) >= 0/ i∈I (I für inequality )}"

"Sei M wie oben. Eine ungleichsbedingung gi mit i ∈ I heißt "aktiv", wenn es x ∈M mit gi(x)=0 gibt. Andernfalls heißt die Bedingung inaktiv."

Wie kann ich jetzt beispielsweise von dem zulässigen  Punkt (0,0) die aktive Menge bestimmen?

Vielen Dank für eure Antworten!

Answer 1

Hm,

der Begriff "aktive Menge" ist mir bisher bei der Quatratischen Optimierung begegnet. Deine Ausführung sind nicht unbedingt hilfreich. ξ für equality Menge?

Auf den Rändern muss ja das Optimum zu finden sein. Je nach dem, wie die Zielfunktion sich anlegt. Die Def gi(x)=0 beschreibt allerdings nur die Geradengleichungen selber - was daran aktiv sein soll erschließt sich mir nicht - fehlen da wesentliche Teile der Mengenbeschreibung?

Situationsbeschreibung (Zielfunktion angenommen)z.B.