Beweisen Sie diese Aussagen

Question

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Beweisen Sie Satz 1.22 aus der Vorlesung: Seien $A, B \subset \mathbb{R}$ nichtleer und nach oben beschränkt. Dann gilt
i) $\sup (A+B)=(\sup A)+(\sup B)$,
ii) $\sup (r A)=r \sup A$, falls $r \geq 0$,
iii) falls $A, B \subseteq \mathbb{R}_{\geq 0}$ : $\sup (A \cdot B)=(\sup A) \cdot(\sup B)$,
iv) $\inf (-A)=-\sup A$.

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Beweisen
: Seien $A, B \subset \mathbb{R}$ nichtleer und nach oben beschränkt. Dann gilt
i) $\sup (A+B)=(\sup A)+(\sup B)$,
ii) $\sup (r A)=r \sup A$, falls $r \geq 0$,
iii) falls $A, B \subseteq \mathbb{R}_{\geq 0}$ : $\sup (A \cdot B)=(\sup A) \cdot(\sup B)$,
iv) $\inf (-A)=-\sup A$.

Aufgabe:

Answer 1

i) Sei $r = \sup(A+B)$ und $s=\sup(A) + \sup(B)$.

Angenommen $r < s$.

Sei $\varepsilon = s-r$.

Seien $a\in A$, $b\in B$ mit $\sup(A)-a < \frac{\varepsilon}{2}$ und $\sup(B)-b < \frac{\varepsilon}{2}$. Dann ist $a+b\in A+B$ mit

        $\begin{aligned}&a+b\\>\ & \sup(A) - \frac{\varepsilon}{2} + \sup(B) - \frac{\varepsilon}{2}\\=\ & s - \varepsilon\\=\ & r\end{aligned}$.

Also ist $r$ keine obere Schranke von $A+B$. Das ist ein Widerspruch zu $r = \sup(A+B)$. Also ist $r \nless s$.

Angenommen $r > s$.

Sei $\varepsilon = r-s$.

Sei $x\in A+B$ mit $\sup(A+B)-x < \varepsilon$.

Seien $a\in A$, $b\in B$ mit $a+b = x$.

Begründe dass $a > \sup(A)$ oder $b > \sup(B)$ ist.

ii) bis iv) können auf gleiche Art bewiesen werden.