Matrixnormen und Maschinenzahlen bestimmen.

Question

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Aufgabe 2: [Matrixnormen, Maschinenzahlen]
(a) Sei \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \) und \( x \in \mathbb{R}^{n} \). Sei \( \|\cdot\|_{p} \) eine Vektornorm, welche die Matrixnorm
\( \|A\|_{p}:=\max _{\|x\|_{r}=1}\|A x\|_{p} \)
induziert. Beweisen Sie, dass
\( \|A x\|_{p} \leqslant\|A\|_{p}\|x\|_{p} \)
gilt.
(b) Gegeben seien die Matrizen
\( A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 3 & 5 \\ 7 & 9 & 7 \\ 5 & 3 & 1 \end{array}\right) \text { und } B=\frac{1}{12} \cdot\left(\begin{array}{ccc} 3 & -3 & 6 \\ -7 & 6 & -7 \\ 6 & -3 & 3 \end{array}\right) \)
(i) Berechnen Sie die \( \infty \)-Norm von \( A, B \) und \( A \cdot B \).
(ii) Berechnen Sie außerdem die \( \infty \)-Norm von \( A \) und \( B \) unter der Annahme, dass alle Matrixeinträge und Rechenoperationen in der Menge der Maschinenzahlen \( \mathbb{M}(10,2,1) \) dargestellt und durchgeführt werden.

bei dieser Aufgabe habe ich alles geschafft außer den letzten Teil (b) (ii). Kann mir jemand bitte weiter helfen. Ich verstehe es leider nicht!

Answer 1

Die \(\infty\)-Norm ist die Zeilensummennorm, dazu sind Summen zu berechnen. Hast Du ja in (i) schon gemacht. Nun sollst Du dasselbe nochmal machen, aber in der Menge der Dezimalzahlen mit 2stelliger Mantisse und 1stelligem Exponenten. Dabei ist natürlich nach jeder Rechenoperation (hier: Addition) wieder auf eine Zahl aus M(10,2,1) zu runden. Gleitpunktarithmetik - ist bestimmt schon alles erklärt worden.

Bei Matrix A wird sich kaum was ändern, aber bei Matrix B schon (wenn man \(\frac1{12}\) in die Matrix zieht, ich nehme an, das soll gemacht werden).

Comments

Ich verstehe es immer noch nicht :")

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"Verstehe ich nicht" liefert keinen Ansatzpunkt für Hilfe, lässt die Helfer raten.

Also, was konkret verstehst Du nicht? Hast Du M(10,2,1) und was dazugehört nachgeschlagen?

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Dies3n Tei "aber in der Menge der Dezimalzahlen mit 2stelliger Mantisse und 1stelligem Exponenten. Dabei ist natürlich nach jeder Rechenoperation (hier: Addition) wieder auf eine Zahl aus M(10,2,1) zu runden."

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Gib mir lieber ein Beispiel

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Hast Du das im Skript nachgeschlagen?? Hier kann nicht Deine Vorlesung wiederholt werden. Und nochmal, was verstehst Du nicht, hab keine Lust zu raten. Weißt was Dezimalzahlen sind, was M(10,2,1) heißt, was runden heißt usw.? Zu all dem gibt es Beispiele in der Vorlesung.