Konvertieren Sie die Zahl x = 2 + 1.2 in eine Maschinenzahl

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Konvertieren Sie die Zahl x = 2 + 1.2 in eine Maschinenzahl

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Ich gehe davon aus, dass es um 3.2 geht. Die Herkunft als 2+1.2 (aus Matr.Nr und 1.2) hat der Prof gewählt, damit nicht jeder Studi die gleiche Aufgabe hat und daher jeder (naja, es gibt nur 10 Aufgaben) selbst rechnen muss.

Es geht darum, diese Zahl in der Standarddarstellung von Maschinenzahlen darzustellen. Das steht in der Vorlesung präzise definiert (auch Runden und die zugehörige Arithmetik ist dort erklärt). Standard ist für die Mantisse 0.abc... und die erste Ziffer a ist ungleich 0 (heißt =1 im Binärsystem). Und dann hinter dem Komma 6 Ziffern.

In der Realität ist das noch anders: da man ja weiß, dass die erste Ziffer eine 1 ist, braucht man die nicht abspeichern und kann die 6 Mantissenziffern erst danach zählen. Ist aber nach meinem Stand (kann mich irren) nicht üblich in der Standard-Numerik-Vorlesung.

Für die Darstellung des Exponenten gibt es auch noch Konventionen, die sind aber hier irrelevant.

Ergebnis ist jedenfalls $0.110011\cdot 2^2$ (Herleitung s.o. bei mathhilf).

Beantwortet 30 Aug 2023 von nudger

Ich gehe davon aus, dass es um 3.2 geht.

Ich ging davon aus, dass es um die Addition von zwei Maschinenzahlen $\tilde{2}$ und $\tilde{1,2}$ geht. Das ist natürlich nicht zwingend das gleiche wie die Machinen zahl von $3,2$. Mit 6 Stellen hinter dem Komma und vorangesteller $0$ ist$$\begin{aligned}\tilde{2} &= 0.100000_2 \cdot 2^2 \\ \tilde{1.2} &= 0.100110_2 \cdot 2^1\end{aligned}$$Bem. die letzte Stelle von $ 0.10011{\color{red}0}_2$ ist abgerundet.

Für die Addition muss man beide in eine Form bringen, bei der der Exponent identisch ist$$\begin{aligned} \tilde{2} + \tilde{1,2} &= 0.100000_2 \cdot 2^2 + 0.100110_2 \cdot 2^1 \\ &= 0.100000_2 \cdot 2^2 + 0.010011_2 \cdot 2^2 \\ &= 0.110011_2\cdot 2^2 \\ &= 3,1875\end{aligned}$$Das Ergebnis ist hier dasselbe wie bei Mathhilf; das muss es aber i.A. nicht sein!

Kommentiert 30 Aug 2023 von Werner-Salomon

Warum hier 2 Tilde und 1,2 Tilde?

Aus Deiner Frage habe ich geschlossen, dass es sich bei dem 'Tilde' um die Maschinenzahl handelt. Wenn $x$ irgendeine Zahl ist, dann ist $\tilde{x}$ die zugehörige Maschinenzahl So hab ich die Nomenklatur in Deiner Frage verstanden.

Bei der Zahl $x=2$ ist das einfach: $\tilde{2}=2$

Bei $x=1,2$ ist das nicht so einfach, da $1,2$ im Binärsystem eine Zahl mit periodischer Nachkommastelle ist. $1,2= 1,\overline{0011}_2$. D.h. dass diese Zahl als Maschinenzahl gerundet werden muss. Unabhängig von der Art der Rundung (mathematisch oder kaufmännisch) ist dies bei 6 Ziffern im Binärsystem immer$$\tilde{1,2} = 1,00110_2$$

Warum hast du bei 2 Tilde 2² und bei 1.2 Tilde 2¹?

Um die Mantisse in das identische Format zu bringen. Mit einer 0 vor dem Komma und die erste Nachkommastelle ist eine 1. Das entspricht der normierten Mantisse. Du hast uns bis jetzt ja nicht verraten, wie Ihr die Mantisse in der Vorlesung behandelt ;-)

Die Mantisse wird ja letzlich im Speicher eines Computers abgelegt. Und im Fall von M(2,6,3) sind für die Mantisse 6 Bits vorgesehen (Bits sind die Ziffern des Binärsystems). Und daher stellt man die Zahl so um, dass sie im Speicher abgelegt werden kann. So wird aus der Zahl 2 die Maschinenzahl $0.100000_2 \cdot 2^2$ und aus 1,2 wird $0.100110_2 \cdot 2^1$. Gespeichert werden die 6 Ziffern nach dem Komma und der Exponent - natürlich bei M(2,6,3) auch im Binärformat als 3-Bit-Zahl.

Kommentiert 31 Aug 2023 von Werner-Salomon

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