Steckbriefaufgabe ganzrationale Funktion

Question

Aufgabe (Steckbriefaufgabe):

Der Graph einer ganzrationalen Funktion $\mathrm{f} 3$. Grades verläuft durch den Ursprung des Koordinatensystems. Im Punkt $\mathrm{P}(1 / 1)$ hat die Funktion ein Extremum und im Punkt W(3 / y_w ) einen Wendepunkt.

Answer 1

Der Graph einer ganzrationalen Funktion $\mathrm{f} 3$. Grades

Ansatz: f(x)=ax³ + bx² +cx + d

verläuft durch den Ursprung des Koordinatensystems.

==>   d=0

Im Punkt $\mathrm{P}(1 / 1)$ hat die Funktion ein Extremum

==>   f(1)=1   und f ' (1)=0

und im Punkt W(3 / yw ) einen Wendepunkt.

==>   f ' ' (3) = 0

Das gibt 3 Gleichungen für a,b,c. Damit rechnest du die aus.

Answer 2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion $\mathrm{f} 3$. Grades verläuft durch den Ursprung des Koordinatensystems. Im Punkt $\mathrm{P}(1 |1)$ hat die Funktion ein Extremum und im Punkt $W(3 | y_W )$ einen Wendepunkt.

Ich verschiebe den Graphen um 1 Einheit nach unten:
$\mathrm{P}(1 |1)$  →$\mathrm{P´}(1 |0)$

$f(x)=a*(x-1)^2(x-N)$
Ursprung: $U(0|0)$  →$U´(0|-1)$
$f(0)=a*(0-1)^2(0-N)=-aN=-1$  → $a=\frac{1}{N}$
$f(x)=\frac{1}{N}[(x-1)^2(x-N)]$
$W(3 / y_w )$:
$f´(x)=\frac{1}{N}[(2x-2)(x-N)+(x-1)^2]$
$f´´(x)=\frac{1}{N}[2(x-N)+(2x-2)+2x-2]$
$f´´(3)=\frac{1}{N}[2(3-N)+(2*3-2)+2*3-2]=0$  
$N=7$  $a=\frac{1}{7}$ 
$f(x)=\frac{1}{7}*(x-1)^2(x-7)$
um 1 Einheit nach oben:
$p(x)=\frac{1}{7}*(x-1)^2(x-7)+1$

Answer 3

f(x) = ax³+bx²+cx+d

f(0) = 0

f(1) = 1

f '(1) = 0

f ''(3) =0

Stelle das Gleichungssystem auf!

Answer 4

Benutze https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f(0) = 0
f(1) = 1
f'(1) = 0
f''(3) = 0

Gleichungssystem

d = 0
a + b + c + d = 1
3a + 2b + c = 0
18a + 2b = 0

Errechnete Funktion

f(x) = 1/7·x³ - 9/7·x² + 15/7·x

Skizze

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f₁(x) = 1/7x³-9/7x²+15/7xP(0|0)P(1|1)P(3|-9/7)Zoom: x(-6…10) y(-6…6)