Relativer Fehler eines Linearen Gleichungssystems

Question

Text erkannt:

Lösen Sie das lineare Gleichungssystem
$\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & 0.5 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 10 \\ 0 \end{array}\right)$

Wie groß ist der relative Fehler $\|\Delta x\|_{1} /\|x\|_{1}$, wenn der relative Fehler in den Matrixelementen höchstens $\pm 2 \%$ und in den Komponenten der rechten Seite höchstens $\pm 4 \%$ beträgt?

Wie groß darf der relative Fehler der rechten Seite in der $\|\cdot\|_{\infty}$-Norm maximal sein, wenn der relative Fehler in den Matrixelementen höchstens $\pm 2 \%$ beträgt und jeder Eintrag der gestörten Lösung $x+\Delta x$ maximal $20 \%$ von der exakten Lösung $x$ abweichen soll?

Die erste Aufgabe ist ja noch relativ einfach. Gauß anwenden und fertig. Aber wie gehe ich bei den nächsten 2 Aufgaben vor?

Bei der zweiten Aufgabe würde ich einen Fehler von 22% vermuten. Ist das richtig? Und wie gehe ich bei der dritten Aufgabe vor?

Answer 1

Dazu braucht man keinen Gauß-Algorithmus, sondern die Abschätzungsformel für den relativen Fehler aus der Vorlesung. In Teil 1 wird einfach in die Formel eingesetzt und die rechte Seite ausgerechnet, in Teil 2 ist die Fragestellung umgekehrt und man muss umstellen. Hast Du die Formel in den Vorlesungsunterlagen gefunden und das ausprobiert? Zuerst mit Teil 1?

Eine dritte Aufgabe sehe ich hier nicht.