Wozu brauche ich das Archim. Axiom?

Question

Hallo. Folgende Aufgabe.

Text erkannt:

Bestimmen Sie, Supremum und Infimum folgender Mengen. Entsc ximum und/oder Minimum existiert. Beweisen Sie alle Ihre Aussa
(a) \( M=\left\{\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}: n \in \mathbb{N}\right\} \)

Wo ich mich nicht auskenne ist folgendes:

Text erkannt:

-) 1 kleinst os. \( { }^{2} \quad z \cdot z \cdot \forall \varepsilon>0: \exists y \in M: y>1-\varepsilon \)
\( \begin{array}{l} -\frac{1}{n} \geq-\varepsilon \quad \mid \cdot(-1) \\ \frac{1}{n} \leq \varepsilon \quad V \quad(\text { Archimediscle E.) } \\ \end{array} \)

Kann mir jemand das Archimedische Axiom genau erklären bzw. warum ich das dazu brauche um zu beweisen das 1 die kleinste obere Schranke ist?

Answer 1

Manchmal formuliert man das Axiom ja so:

(z.B. Wikipedia)

Es sei x>0.
Behauptung: Für jedes y>x gibt es eine natürliche Zahl n, so dass  n · x>y gilt.

Du brauchst die Aussage zu jedem \(  \varepsilon \gt 0 \) gibt es eine

natürliche Zahl n, so dass  (  \frac{1}{n} \leq \varepsilon  \)

Wähle in der Formulierung des Axioms x=ε und y=1 dann hast du:

Es gibt n∈ℕ  mit    \(  n \cdot \varepsilon \gt 1  \)

also auch    \(  \frac{1}{n} \lt \varepsilon \) und damit

erst recht  \(  \frac{1}{n} \leq \varepsilon \).

Comments

warum kann ich das y einfach auf 1 setzen ? . Bzw. was habe ich jetzt mit Epsilon größer 1/n gezeigt?

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Ich dachte es ging dir um die Bemerkung in dem zitierten

Beweis, Da steht doch hinter \(  \frac{1}{n} \leq \varepsilon  \)

der Hinweis: "Archimedisches Axiom".

Das soll doch bedeuten, dass die Begründung für:

Es gibt zu dem vorgegebenen ε ein n mit   \(  \frac{1}{n} \leq \varepsilon \).

Die Gültigkeit dieser Behauptung wird in der Tat durch

das Archimedische Axiom begründet.

Dort heißt es ja: " ... zu jedem y .... "

Also insbesondere zu y=1.

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ok jetzt habe ich das Epsilon und das zeigt mir genau was?

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Ganz oben schreibst du doch:

z.z.:          \( \forall \varepsilon>0: \exists y \in M: y>1-\varepsilon \)

und zeigst durch deine Rechnung, dass dieses dann gilt, wenn

es zu jedem ε>0 ein n gibt mit \(  \frac{1}{n} \leq \varepsilon \).

Genau das garantiert das Archimedische Axiom.

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OK aber wozu. Bzw. was hat das zu tun mit der kleinsten o. Schranke?

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Ich vermute, dass du der Ansicht bist:

" Zu jedem ε>0 gibt es ein n mit 1/n ≤ ε. "

ist doch klar. Also würdest du an dieser Stelle den

Beweis abbrechen und denken : Es ist alles gezeigt.

Das ist im Prinzip auch richtig. Allerdings kann

man ja auch fragen: Wieso ist

" Zu jedem ε>0 gibt es ein n mit 1/n ≤ ε. "

das eine wahre Aussage, bzw. wie begründe ich die

mit den Axiomen über das Rechnen in ℝ.

Und genau diese Begründung liefert das AA.