Question

Bestimmen Sie eine Integrationsformel der Form

\( \int \limits_{0}^{1}f(x)dx=af(\frac{1}{4})+bf(\frac{1}{2})+cf(1) \)

die für jedes Polynom vom Grad kleiner oder gleich 2 exakt ist. Verwenden Sie diese Formel, um das Integral von
\( f(x)=\frac{sin (x)}{x} \) im Intervall [0, 1] anzunähern.



Hat jemand eine Idee wie ich sowas anfange? Falls möglich als "Rezept", versuche es dann mal selber.
Danke für jede Hilfe!

Answer 1

Die Integrationsformel ist linear.

Du brauchst also nur den Ansatz:
$$a+b+c = \int_0^1 1dx = 1$$

$$\frac 14 a+\frac 12 b+ c = \int_0^1 xdx = \frac 12$$

$$\left(\frac 14\right)^2 a+\left(\frac 12\right)^2 b+ c = \int_0^1 x^2dx = \frac 13$$

Answer 2

für jedes Polynom vom Grad kleiner oder gleich 2 exakt ist.

f(x) hat also die Form q*x²+r*x+s.

Ich hätte ja lieber ax²+bx+c genommen, aber diese Bezeichner sind in der Aufgabe bereits anderweitig vergeben.

Damit ist \( \int \limits_{0}^{1}f(x)dx= \int \limits_{0}^{1}( q*x²+r*x+s)dx =q/3 + r/2 + s\).

Das soll das Gleiche ergeben wie  \( af(\frac{1}{4})+bf(\frac{1}{2})+cf(1) \).

Nun ist f(1/4)= q*(1/4)²+r*(1/4)+s.

Bilde so auch f(1/2) und f(1) und setze das Erhaltene in \( af(\frac{1}{4})+bf(\frac{1}{2})+cf(1) \). ein.

Answer 3

Vielleicht hilft dir diese Überlegung weiter:

\(p(x)=a*(x-π)*(x+π)\)

\(P(0|1)\)

\(p(0)=a*(0-π)*(0+π)=-a*π^2=1\)       → \(a=-\frac{1}{pi^2}\) 

\(p(x)=-\frac{1}{pi^2}*(x^2-π^2)\)