Zeigen Sie, dass die Summe der ersten n ungeraden Zahlen durch n2 gegeben ist:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Summe der ersten $n$ ungeraden Zahlen durch $n^{2}$ gegeben ist:

$\sum \limits_{i=1}^{n}(2 i-1)=n^{2} .$

Nutzen Sie keine vollständige Induktion.

Answer 1

Aloha :)

Behauptung: $\quad\sum\limits_{i=1}^n(2i-1)=n^2$

Die Formel ist natürlich sofort klar, denn:$$\begin{array}{c}1 & \red3 & \green5 & \blue{7} &\pink 9\\\red3 & \red3 &\green 5 & \blue{7} & \pink 9\\\green 5 & \green5 & \green5 & \blue{7} & \pink 9\\\blue{7} & \blue{7} & \blue{7} & \blue{7} & \pink 9\\\pink 9 & \pink 9 & \pink 9 & \pink 9 & \pink 9\end{array}$$

Um das mit vollständiger Induktion zu zeigen, kannst du wie folgt vorgehen:

Verankerung bei $n=1$:$$\sum\limits_{i=1}^n(2i-1)=2\cdot1-1=1=1^2=n^2\quad\checkmark$$

Induktionsschritt von $n$ auf $(n+1)$:$$\sum\limits_{i=1}^{n+1}(2i-1)=\underbrace{\red{\sum\limits_{i=1}^{n}(2i-1)}}_{=n^2\text{ nach Ind. Vor.}}+\underbrace{\green{2(n+1)-1}}_{\text{Summand für \(\small i=n+1\)}}=\red{n^2}+\green{2n+1}=(n+1)^2\quad\checkmark$$

Comments

aber wie zeige ich das ohne vollständige Induktion ?

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@LisaNauwied
Hab ich doch. Schau mal meine Antwort an.
Wenn du dort etwas nicht verstehst, frag einfach.

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Hast du die Anordnung der Zahlen zu einem Quadrat nicht verstanden?

Du brauchst $n$ Zahlen zum Anlegen an die untere Kante, $n$ Zahlen zum Anlegen an die rechte Kante und eine Zahl für die Schließung des Quadrates. Das sind insgesamt $(2n+1)$ belegte Felder, die bei jedem Schritt dazu kommen.

Answer 2

Die Summe ist             s= 1 + 3 + 5 +...+2n-5 + 2n-3 + 2n-1.

Die Summe ist auch  s=(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+ ... + 5 + 3 + 1.

Wenn man beide Zeilen addiert, erhält man

2s= (1+ 2n-1) + (3 + 2n-3) + (5 + 2n-5) + ...

wobei jede Klammer 2n ergibt und es n solche Klammern gibt.

Also gilt 2s = (2n) * n und damit s=n².

Answer 3

$\sum \limits_{i=1}^{n}(2 i-1)= 2\sum\limits_{i=1}^{n}i - n= 2\frac{n(n+1)}2 - n=n^2$