ist das Polynom x2 + y2 + 1 in ℂ[x, y] irreduzibel?

Question

ist das Polynom $x^2 + y^2 + 1$ in ℂ[x, y] irreduzibel?

Problem/Ansatz:

hallo, meine idee wäre das es sich hier ja quasi um einen kreis hält, da ja für x,y ∈ ℂ alle werte eines kreises mit radius 1 in ℝ mit i multipliziert Nullstellen wären.

Leider weiß ich nicht genau wie ich irreduzibel in polynomen mehrerer variablen zeige.

$(x^2+\frac{i}{\sqrt{2}})(x^2-\frac{i}{\sqrt{2}}) + (y^2+\frac{i}{\sqrt{2}})(y^2-\frac{i}{\sqrt{2}})$

tut es ja nicht, da wir auch ein plus in der zerlegung hätten oder?

Comments

Hattet ihr schon Eisensteinkriterium? Wenn ja, da könnte man einfach (C[Y]) [X] betrachten, mit dem Polynom P = (y-i) :)

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Hi, danke für den tipp, tut mir leid das ich erst jetzt antworte, habe den kommentar nicht gesehen.

Eisenstein kenne ich, aber ich verstehe leider nicht ganz wie ich das auf p = (y - i) anwenden könnte. Das kriterium funktioniert doch nur mit primzahlen, die die coeffizienten teilen, und 1 ist keine primzahl, oder ist da irgendwas falsch.

Könntest du mir vielleicht genauer erklären wie ich das hier machen soll?

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Man definiert auch in Ringen Primzahlen. In faktorringen, was dein Ring tatsächlich ist, sind Primelement die irreduzibelen Polynome. Dass y-i irreduzibel ist erkennt man sofort, da es nicht durch zwei Polynome kleineren Grades dargestellt werden kann. Demnach kann man nun Eisenstein anwenden. Das Polynom darf nicht 1 teilen, die der Koeffizient vor deinem größten Polynom x² ist. Ansonsten muss es aber alle anderen Koeffizienten teilen also auch (y²+1) welches das Konstante Polynom in (C[Y]) [X] ist. Gleichzeitig darf das Quadrat von y-i nicht (y²+1) teilen. Das ist alles erfüllt und damit Eisenstein

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Omg, das macht alles so viel Sinn. Vielen Dank für die Antwort ich hab’s verstanden :)

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Gerne :).....