Da war ich wirklich mehr als voreilig mit der Antwort - hier alles nochmals korrigiert und präzisiert:
a)
Die Symmetrie einer Relation besagt, dass wenn \( (a, b) \) in der Relation ist, dann ist auch \( (b, a) \) in der Relation.
Angenommen, \( R_{1} \) und \( R_{2} \) sind symmetrisch. Das bedeutet für \( R_{1} \):
Wenn \( (x, y) \in R_{1} \), dann gilt auch \( (y, x) \in R_{1} \) für jedes \( x, y \) in \( S \).
Ebenso für \( R_{2} \) :
Wenn \( (p, q) \in R_{2} \), dann gilt auch \( (q, p) \in R_{2} \) für jedes \( p, q \) in \( S \).
Wir müssen nun zeigen, dass die Vereinigung \( R_{1} \cup R_{2} \) ebenfalls die Symmetrieeigenschaft hat, d.h., für jedes \( (m, n) \) in \( R_{1} \cup R_{2} \) muss auch \( (n, m) \) in \( R_{1} \cup R_{2} \) enthalten sein.
Sei \( (m, n) \in R_{1} \cup R_{2} \). Das bedeutet, dass \( (m, n) \) entweder in \( R_{1} \) oder in \( R_{2} \) enthalten ist. Fall 1: \( (m, n) \in R_{1} \)
Da \( R_{1} \) symmetrisch ist, gilt auch \( (n, m) \in R_{1} \), da die Symmetrieeigenschaft für \( R_{1} \) erfüllt ist.
Fall 2: \( (m, n) \in R_{2} \)
Ebenso ist \( R_{2} \) symmetrisch, daher gilt \( (n, m) \in R_{2} \), weil die Symmetrieeigenschaft für \( R_{2} \) erfüllt ist.
In beiden Fällen haben wir gezeigt, dass wenn \( (m, n) \) in \( R_{1} \cup R_{2} \) ist, dann ist auch \( (n, m) \) in \( R_{1} \cup R_{2} \). Das zeigt, dass \( R_{1} \cup R_{2} \) symmetrisch ist, wenn \( R_{1} \) und \( R_{2} \) symmetrisch sind.
Daher ist die Aussage: "Sind \( R_{1} \) und \( R_{2} \) symmetrisch, dann ist auch \( R_{1} \cup R_{2} \) symmetrisch" bewiesen worden.
b)
Eine Relation \( R \) auf einer Menge \( S \) ist reflexiv, wenn für jedes Element \( x \) in \( S \) gilt: \( (x, x) \in \) \( R \).
Angenommen, \( R_{1} \) ist reflexiv und \( R_{2} \) ist eine beliebige Relation. Um zu zeigen, dass \( R_{1} \cup \) \( R_{2} \) reflexiv ist, müssen wir beweisen, dass für jedes Element \( x \) in \( S \) gilt: \( (x, x) \in R_{1} \cup R_{2} \).
\( \mathrm{Da} R_{1} \) reflexiv ist, wissen wir, dass \( (x, x) \in R_{1} \) für jedes \( x \) in \( S \).
Betrachten wir nun \( R_{1} \cup R_{2} \) :
\( (x, x) \in R_{1} \cup R_{2} \) bedeutet, dass \( (x, x) \) entweder in \( R_{1} \) oder in \( R_{2} \) enthalten ist.
1. Wenn \( (x, x) \in R_{1} \), dann ist \( (x, x) \in R_{1} \cup R_{2} \), da \( R_{1} \) Teil der Vereinigung ist.
2. Falls \( (x, x) \notin R_{1} \) (weil die Reflexivität von \( R_{1} \) angenommen wurde, \( (x, x) \) sollte in \( R_{1} \) sein), dann bleibt nur die Möglichkeit, dass \( (x, x) \) in \( R_{2} \) enthalten ist, da \( R_{2} \) eine beliebige Relation ist.
In beiden Fällen ist \( (x, x) \in R_{1} \cup R_{2} \), was bedeutet, dass jedes Element in \( S \) mit sich selbst in \( R_{1} \cup R_{2} \) in Beziehung steht.
Daher ist \( R_{1} \cup R_{2} \) reflexiv, wenn \( R_{1} \) reflexiv ist und \( R_{2} \) eine beliebige Relation ist. Die Aussage ist also bewiesen.
c)
Eine Relation \( R \) auf einer Menge \( S \) ist antisymmetrisch, wenn aus \( (a, b) \in R \) und \( (b, a) \in \) \( R \) folgt, dass \( a=b \), für alle \( a, b \) in \( S \).
Angenommen, \( R_{1} \) und \( R_{2} \) sind antisymmetrisch. Wir müssen zeigen, dass die Vereinigung \( R_{1} \cup R_{2} \) ebenfalls antisymmetrisch ist.
Betrachten wir \( R_{1} \cup R_{2} \) :
Angenommen, \( (x, y) \) und \( (y, x) \) sind Elemente von \( R_{1} \cup R_{2} \), wobei \( x \) und \( y \) Elemente in \( S \) sind.
\( \mathrm{Da} R_{1} \) und \( R_{2} \) antisymmetrisch sind:
1. Wenn \( (x, y) \) und \( (y, x) \) beide in \( R_{1} \) enthalten sind, dann muss gelten \( x=y \) aufgrund der Antisymmetrie von \( R_{1} \).
2. Falls \( (x, y) \) und \( (y, x) \) beide in \( R_{2} \) enthalten sind, dann muss auch gelten \( x=y \) aufgrund der Antisymmetrie von \( R_{2} \).
Da \( R_{1} \) und \( R_{2} \) antisymmetrisch sind, erfüllen \( R_{1} \cup R_{2} \) und damit auch alle Elemente \( (x, y) \) und \( (y, x) \) in \( R_{1} \cup R_{2} \) die Bedingung \( x=y \), was bedeutet, dass die Vereinigung \( R_{1} \cup R_{2} \) antisymmetrisch ist.
