AWP y'(x)=(3x-y+4)/(x+y)

Question

Aufgabe:
Bestimmen Sie zunächst die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
\( y^{\prime}(x)=\frac{3 x-y(x)+4}{x+y(x)} \)
und geben Sie zusätzlich jeweils die spezielle Lösung für den Anfangswert \( y(2)=3 \) an:

Problem:
Ich bin mir nicht sicher, ob ich das AWP richtig gelöst habe - hier mein Versuch:

\( \begin{array}{l}\text { AWP: } y(2)=3 \\ C=\sqrt{3-2-2} \cdot \sqrt{3+6+2} \\ C=i \sqrt{11}\end{array} \)

Answer 1

Hallo,

Dein Ergebnis stimmt, Rechnung über Substitution möglich (z=x+y)

Es gibt aber weitere Lösungen, da beim Dividieren bei dem Integral Lösungen entfallen.

z.B.

y=x+2

y=-3x-2

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Meine Berechnung:

ich habe es mal so gelernt :)

ich würde Dir diesen Weg empfehlen ,der andere Weg ist so nicht üblich

und wird auch so wohl nicht unterrichtet :)

Comments

z.b.
y=x+2
y=-3x-2

Sind keine Lösungen des AWPs. Und welches Ergebnis? Ich kann in den Aufzeichnungen kein y=... finden.

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Doch das sind sehr wohl auch Lösungen der DGL (ohne AWB)  und man kann das Ergebnis auch in impliziter Form angeben.

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@Grosserloewe - danke dir für deine Antwort und den Hinweis zu den weiteren Lösungen!
Die Separation der Variablen zur Lösung des DGL kann ich also so anwenden!?
LG Euler

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Deswegen schrieb ich ja auch "keine Lösungen des AWPs", also nicht relevant. Und ich denke nicht, dass eine implizite Form hier sinnvoll ist.

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Das sehe ich nicht so, warum soll ich die beiden anderen Lösungen nicht angeben? Es sind beide Formen möglich, explizit und auch implizit.

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@Euler , der Weg heißt nicht Seperation , sondern Substitution , aber Du bist trotzdem auf die richtige Lösung gekommen.

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Ich glaube auch, dass ich in diesem Fall wahrscheinlich die anderen Lösungen ebenfalls angeben soll, da ich ja sowohl die Allgemeine also auch die Spezielle Lösung angeben soll (laut obriger Aufgabenstellung)

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so ist es.

Mein Weg , siehe oben, würde ich Dir empfehlen :)

Answer 2

Das ist keine Dgl mit trennbaren Variablen.

Deinen Bruch zu zerlegen gibt wenig Sinn. Benutze Deinen Ansatz auf die Original-Dgl. Außerden gibt es Probleme, wenn Du ein Gleichungssystem mit dem zerstückelten Bruch löst.

Nach Deiner Rücksubst. \(x = u^2+\dots\) solltest Du die Gleichung mit 2 multiplizieren, dann sparst Du Dir die Wurzeln.

Die Konstante nennt man dann auch nicht \(C\), sondern \(\ln(C)\).

Und wenn Du schon so völlig umständlich rechnen willst, dann quadiere wenigstens Deine Gleichung am Ende und setze Deine Konstante \(D = C^2\). Deine Art, mit Wurzeln anstatt Potenzen zu rechnen, schränkt sowohl die Definitionsmenge, als auch die Wertemenge und damit letztendlich auch die Lösung Deiner Dgl. empfindlich und nutzlos ein.

Die beiden "weiteren Lösungen" sind keine, da sie bereits Teil Deiner allgemeinen Lösung sind.

Und ganz bösartig ist, dass Du zweimal dividierst, ohne sicherzustellen, dass das \(\neq 0\) ist.

(Wer hat euch eigentlich das Rechnen beigebracht?)