Auffüllen von LGS Lösungsmenge

Question

Aufgabe:

Auffüllen von LGS

Problem/Ansatz:

Hallo, ich verstehe nicht so ganz, warum in der dritten und vierten Zeile auf einmal "-1" stehen, nachdem man die Matrix umgeformt hat. Ebenso verstehe ich nicht, wieso -5 zu 5 in der Lösungsmenge wird.

Text erkannt:

\( \begin{array}{c}(A, b)=\left(\begin{array}{rrrr|r}0 & -1 & -2 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & -2 & 2 & 4 \\ -2 & 3 & -2 & 1 & 7 \\ 1 & -2 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -2\end{array}\right) \Longrightarrow\left(\begin{array}{rr|rr||r}1 & 0 & 4 & -5 & -5 \\ 0 & 1 & 2 & -3 & -1 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \\ \Longrightarrow\left(\begin{array}{ll|rr|r}1 & 0 & 4 & -5 & -5 \\ 0 & 1 & 2 & -3 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0\end{array}\right) \\ \operatorname{Lös}(A, b)=\left\{\left(\begin{array}{r}5 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+\lambda_{1} \cdot\left(\begin{array}{r}4 \\ 2 \\ -1 \\ 0\end{array}\right)+\lambda_{2} \cdot\left(\begin{array}{r}-5 \\ -3 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) \mid \lambda_{1}, \lambda_{2} \in \mathbb{R}\right\}\end{array} \)

Answer 1

Hallo,

ich antworte mal, weil die Frage schon so lange offen ist.

Anscheinend sollt Ihr eine spezielle Version des Gauss-Algorithmus verwenden. Besonders ist, dass Ihr wohl in dem Block oben links eine Einheitsmatrix erzeugt. Wenn man das macht, kann man aus dem Schluss-Schema die komplette Lösung ablesen - das wäre aus der zweiten Matrix, die Du aufgeschrieben hast.

Die dritte Matrix ist kein Lösungs-Rechenschritt - mehr, sondern eine technische Vereinbarung, wie die Vektoren für die Lambdas anzusetzen sind, durch Auffüllen mit -1. Im allgemeinen würde man sagen: Die Variablen x_3 und x_4 sind frei wählbar und mit der Vorgabe \(x_3=s, x_4=t\) dann die beiden anderen Komponenten \(x_1,x_2\) bestimmen. Man kann so die Lösungsmenge auf verschiedene Arten darstellen. Und Ihr habt aus den verschiedenen Möglichkeiten eine ausgewählt.

Die 5 ganz vorne in der Lösung ist ein Druckfehler, es muss -5 sein