Stetigkeit mit Polarkoordinaten berechnen

Question

Aufgabe:

Stetigkeit mit Polarkoordinaten berechnen

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

\( f(x ; y)=\left\{\begin{array}{ll}2+\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & \text { falls }(x ; y) \neq(0 ; 0) \\ 2 & \text { falls }(x ; y)=(0 ; 0)\end{array}\right. \)

Answer 1

Muss es unbedingt mit Polarkoordinaten sein ?

Sonst verwende doch einfach \(  | \frac{x^3}{x^2+y^2} | =  |x| \frac{x^2}{x^2+y^2} | \le |x| \)

Also geht \(  | \frac{x^3}{x^2+y^2} | \) für (x,y) → (0,0) gegen 0 und damit

geht es auch ohne den Betrag gegen 0, also ist f(x,y) stetig bei (0,0).

Comments

Ja muss leider mit Polarkoordinaten sein

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Dann vielleicht so:

(x ; y) = (r * cos(φ); r*sin(φ)) -> (0 ; 0)    geht immer mit  r-> 0.

Und bei (x ; y) = (r * cos(φ) ; r*sin(φ)) hast du für r≠0 ja immer

aus \( f(x ; y)=2+\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}  \)

folgt    \( f(r \cdot \cos( \varphi) ; r \cdot \cos( \varphi))=2+\frac{r^{3}\cos^3(\varphi)}{r} \)

\( =2+r^{2}\cos^3(\varphi) \) #

Und weil für alle φ gilt \( |\cos^3(\varphi)| \le 1 \)

hat # für r→0 den Grenzwert 2. Also f stetig bei (0;0).