Falls der Kommentar nicht geholfen hat, hier eine ausführlichere
Version:
Du musst ja zeigen: Zu jedem ε>0 gibt es ein δ mit
||(x,y)-(0,0)|| <δ ==> | f(x,y) - 0 |< ε also kurz
||(x,y)|| <δ ==> | f(x,y) |< ε.
Als erstes schauen wir dazu an:
\( |\frac{x^5*y + x*y^5 - 2*x^3*y^3}{(x^4+y^4)e^{x+y}}|= |\frac{|xy| \cdot (x^2-y^2)^2}{(x^4+y^4)e^{x+y}}| = \frac{ (x^2-y^2)^2}{(x^4+y^4)} \cdot \frac{|xy| }{e^{x+y}}\)
Der erste Faktor ist nie negativ und immer ≤ 2, denn
\( \frac{ (x^2-y^2)^2}{(x^4+y^4)} \le 2 <=> (x^2-y^2)^2 \le 2 (x^4+y^4) \)
\( <=> x^4- 2x^2y^2 + y^4 \le 2x^4+2y^4 \)
\( <=> - 2x^2y^2 \le x^4+y^4 \)
\( <=> 0 \le x^4+ 2x^2y^2+y^4 \)
Was ja immer stimmt, da rechts nicht steht, was negativ werden kann.
Damit hat man schon mal
\( \frac{ (x^2-y^2)^2}{(x^4+y^4)} \cdot \frac{|xy| }{e^{x+y}} \le \frac{2|xy| }{e^{x+y}} \)
Und wenn man noch ||(x,y)|| < 1 vorgibt, dann folgt ja -2 < x+y < 2
also \( e^{x+y} < e^{2 } < 8 \) und
aus ||(x,y)|| <δ folgt auch |xy| < δ .
Also hat man | f(x,y) | \( \le \frac{2|xy| }{e^{x+y}} \lt \frac{2|xy| }{8} = \frac{|xy| }{4} \).
Es reicht also , wenn man wählt δ = min{ 1, ε/4 }.
