Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Für die Augenzahl \(X\) eines Würfels lauten Erwartungswert \(\mu_X\) und Varianz \(\sigma^2_X\) so:$$\mu_X=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=\frac72=3,5$$$$\sigma^2_X=\frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6}-\mu_X^2=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{35}{12}$$
Bei der Augensumme \(S\) von 4 unabhängigen Würfeln addieren sie die Erwartungswerte und die Varianzen der einzelnen Würfel, daher gilt:$$\small\green{\mu_S}=4\cdot\mu_x=4\cdot\frac72\green{=14}\quad;\quad\sigma^2_S=4\sigma^2_X=4\cdot\frac{35}{12}=\frac{35}{3}\implies\red{\sigma_S}=\sqrt{\frac{35}{3}}\red{\approx3,415650}$$
Unter der Annahme, dass \(S\) normalverteilt ist, können wir die gesuchten Wahrscheinlichkeiten auf die Standrad-Normalverteilung \(\phi(z)\) zurückführen:
$$P(12<S<14)=P(S<14)-P(S\le12)=\phi\left(\frac{14-\green{\mu_S}}{\red{\sigma_S}}\right)-\phi\left(\frac{12-\green{\mu_S}}{\red{\sigma_S}}\right)$$$$\qquad=\phi(0)-\phi(-0,58554)\approx0,5-0,27909=0,22091=\pink{22,09\%}$$
$$P(13<S<15)=P(S<15)-P(S\le13)=\phi\left(\frac{15-\green{\mu_S}}{\red{\sigma_S}}\right)-\phi\left(\frac{13-\green{\mu_S}}{\red{\sigma_S}}\right)$$$$\qquad=\phi(0,29277)-\phi(-0,29277)\approx0,61515-0,38485=0,2303=\pink{23,03\%}$$
$$P(S=14)=P(S\le14)-P(S<14)=\pink0$$
