näherungsweise mit der Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit?

Question

Ein Betrieb, der im Mittel 5% Ausschuss produziert, liefert
Energiesparlampen in Kartons zu je 800 Stück.

Berechnen Sie näherungsweise mit der Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit,
dass sich in einem zufällig ausgewählten Karton mindestens 40 und höchstens 50
fehlerhafte Stücke befinden.

Answer 1

Aloha :)

Bei $n=800$ Lampen und $p=5\%$ Ausschusswahrscheinlichkeit können wir für die Normalverteilung als Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ folgende Werte annehmen:$$\mu=np=800\cdot0,05=40\quad;\quad\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{800\cdot0,05\cdot0,95}=\sqrt{38}$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl $X$ defekter Lampen mindestens $40$ und höchstens $50$ Lampen beträgt, ist daher:$$P(40\le X\le 50)=P(X\le50)-P(X\le39)$$$$\phantom{P(40\le X\le 50)}=\Phi\left(\frac{50-40}{\sqrt{38}}\right)-\Phi\left(\frac{39-40}{\sqrt{38}}\right)$$$$\phantom{P(40\le X\le 50)}=\Phi(1,6222)-\Phi(-0,1622)=0,947621-0,435565$$$$\phantom{P(40\le X\le 50)}=0,512055\approx51,21\%$$

Es kann sein, dass ihr im Unterricht die sogenannte "Stetigkeitskorrektur" besprochen habt. Da die Normalverteilung für stetige Zufallsvariablen gilt, wir hier aber eine diskrete Zufallsvariable haben, die nur ganzzahlige Werte annehmen kann, müssten wir das eigentlich wie folgt berücksichtigen:$$P(39,5\le X\le 50,5)=P(X\le50,5)-P(X\le39,5)$$$$\phantom{P(39,5\le X\le 50,5)}=\Phi\left(\frac{50,5-40}{\sqrt{38}}\right)-\Phi\left(\frac{39,5-40}{\sqrt{38}}\right)$$$$\phantom{P(39,5\le X\le 50,5)}=\Phi(1,7033)-\Phi(-0,0811)=0,955746-0,467677$$$$\phantom{P(39,5\le X\le 50,5)}=0,488069\approx48,81\%$$