Beweisen Sie die Gleichungen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 30 :
\( \overline{\text { Es seien } A \in} \mathbb{R}^{m \times n} \). Beweisen Sie die Gleichungen
\( \begin{aligned} A^{+} & =\left(A^{T} A\right)^{-1} A^{T}, & & \text { falls } A^{T} A \text { regulär ist } \\ A^{+} & =A^{T}\left(A A^{T}\right)^{-1}, & & \text { falls } A A^{T} \text { regulär ist } \\ \left(A^{T}\right)^{+} & =\left(A^{+}\right)^{T} . & & \end{aligned} \)

Comments

Was bedeutet denn hier das + ?

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wahrscheinlich Pseudoinverse

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Genau :) Colin hat recht

Answer 1

$$\text{Es reicht die vier Bedingungen einer Pseudoinverse nachzuweisen:}\\ A^+=(A^TA)^{-1}A^T: \\Beweis: \\ AA^+A=A·(A^TA)^{−1}A^T ·A=A \\ A^+AA^+ =(A^TA)^{−1}A^T ·A·(A^TA)^{−1}A^T =A^+\\ AA^+ = A(A^T A)^{−1}A^T \ (Symmetrie)\\ A^+A = (A^T A)^{−1}A^T · A = I_n (Symmetrie)$$