Vektorenalgebra Aufgaben zu Einheitsvektoren und Orthogonalität

Question

Aufgabe:

Ich benötige Hilfe bei der Aufgabe d) und e).

zur c) Ich weiß wie man den Einheitsvektor berechnet. Aber was soll man tun, damit er antiparallel ist.

zur d) Ich habe bereits die Lösung, benötige nur eine Erklärung nochmal in Worten

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Aufgabe 6

Gegeben sind die Vektoren:
\( \vec{a}=\left(\begin{array}{r}1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right) \)
\( \vec{b}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ -2 \\ -1\end{array}\right) \)
\( \vec{c}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \)
(a) Berechnen Sie folgende Ausdrücke:
(a) \( |\vec{a}| \),
(b) \( \vec{a} \cdot \vec{b} \),
(c) \( (\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{c} \).
(b) Berechnen Sie den von den Vektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) eingeschlossenen Winkel.
(c) Berechnen Sie die Projektion von \( \vec{c} \) auf \( \vec{a} \).
(d) Berechnen Sie den Einheitsvektor, der antiparallel zu \( \vec{a} \) verläuft.
(e) Gegeben sei der Vektor \( \vec{x}=\left(\begin{array}{c}2 \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right) \). Wie müssen \( x_{2} \) und \( x_{3} \) gewählt werden, damit \( \vec{x} \) sowohl zu \( \vec{a} \) als auch zu \( \vec{c} \) orthogonal ist?

Text erkannt:

e) Es muss getten:
a) \( \vec{a} \cdot \vec{x}=0 \)
2) \( \vec{c} \cdot \vec{x}=0 \)
\( \begin{array}{rlrl} \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 2 \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right) & =0 & \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 2 \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right) & =0 \\ 2+0-2 \cdot x_{3} & =0 & 2+x_{2}+0 & =0 \\ x_{3} & =1 & x_{2} & =-2 \\ \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) & \end{array} \)

Answer 1

Damit ein Vektor senkrecht zu einem anderen Vektor ist, muss das Skalarprodukt 0 sein. Da du nun einen Vektor suchst, der zu zwei anderen Vektoren senkrecht sein soll, müssen beide Skalarprodukte 0 sein. Das führt auf ein LGS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten. Das musst du dann lösen.

Alternativ kann man diesen Vektor aber auch finden, indem man das Kreuzprodukt bzw. Vektorprodukt der beiden Vektoren berechnet, falls das schon behandelt wurde.

Antiparallele Vektoren verlaufen in entgegengesetzte Richtungen. Einheitsvektor bedeutet, dass der Vektor die Länge 1 hat. Man muss den Vektor also skalieren, so dass er dann die Länge 1 hat. Das geht durch Division mit der Länge des Vektors.

Answer 2

zwei Vektoren gelten als antiparallel, wenn der eine Vektor sich aus einer Multiplikation zwischen einem negativen Skalar und dem anderen Vektor, also in deinem Fall der Einheitsvektor, ergibt.

Sprich: Zwei linear a und b sind antiparallel, wenn mit einem negativen Skalar r gilt:

a=r*b

Das gilt z.B. für a=(1 0 1) und r=-1 sowie b=(-1 0 -1)

Denn (-1)*(-1 0 -1)=(1 0 1)

Willst du b zu einem Einheitsvektor machen, dann teile den Vektor durch seine Länge, in dem Fall wäre sie Wurzel von 2 (hier: [2]), da es sich um eine Länge handelt, ist sie positiv.

Dann musst aber auch du den Skalar aber mit der Länge des Vektors multiplizieren um keine Verzerrung hervorzurufen.

Wir hätten dann -[2] * (-1/[2] 0 -1/[2]) = (1 0 1). Versuche so ähnlich an deine Aufgabe heranzugehen.

Bei e) musst du einfach begründen, warum dein Vektor der passende Kanditat für diese Aufgabe ist. Erfüllt er die Bedingungen oder nicht? Was passiert, wenn dein Vektor mit den anderen jeweils multipliziert wird?