Orthogonalität Ebene Gerade Skalarprodukt

Question

Hallo Leute,
wie könnte ich bei dieser Aufgabe vorgehen?
Aufgabe:
Die beiden Geraden g: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} -2\\0\\1 \end{pmatrix} \) + k . \( \begin{pmatrix} 3\\0\\-5 \end{pmatrix} \) und a: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 2\\4\\6 \end{pmatrix} \) + r . \( \begin{pmatrix} 6\\3\\12 \end{pmatrix} \).Prüfe, welche der beiden Geraden orthogonal zur Ebene F: 2x₁ + x₂ + 4x₃ = 5 verläuft.
Wie könnte ich hier vorgehen? Muss ich den Skalarprodukt anwenden?
Vielen Dank nochmal! :)

Answer 1

Aloha :)

Die Ebene hat den Normalenvekor \(\vec n=(2;1;4)^T\). Dieser steht senkrecht auf der Ebene. Du musst nun prüfen, ob ein Richtungsvektor der beiden Geraden parallel zu \(\vec n\) verläuft. Wegen$$3\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\3\\12\end{pmatrix}$$ist das für den Richtungsvektor der zweiten Geraden der Fall.

Der Richtungsvektor der ersten Geraden kann wegen der Null in der zweiten Komponente nicht parallel zu \(\vec n\) verlaufen.

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Vielen Dank!

Answer 2

Hallo,

nein, du berechnest das Kreuzprodukt von dem Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden. Wenn das Ergebnis der Nullvektor ist, ist die Gerade orthogonal zur Ebene.

Gruß, Silvia

Comments

Ok dankeschön :)

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Das finde ich viel zu kompliziert.

:-)

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Naja, so ein Kreuzprodukt ist ja flugs ausgerechnet, aber ich lasse mich gerne von dir belehren.

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Es gibt ja oft mehrere Wege.

Ich finde es einfacher die Kollinearität des Richtungsvektors von g und des Normalenvektors von E zu zeigen.

\( \begin{pmatrix} 6\\3\\12 \end{pmatrix} =3\cdot\begin{pmatrix} 2\\1\\4 \end{pmatrix} \)

Aber belehren will ich dich gar nicht.

;-)

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Von dir lasse ich mich gerne belehren. Und ja, die Kollinearität sieht man auf einen Blick - wenn er denn dafür geschärft ist ;-).