Zeigen Sie, dass dann die Folge (an)n∈N der linken Eckpunkte eine Cauchyfolge ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass dann die Folge (an)n∈N der linken Eckpunkte eine Cauchyfolge ist.

Problem/Ansatz:

Ich stehe leider hier komplett auf dem Schlauch. Ich vermute, dass die linken Eckpunkte dann die an der Intervalle sind. Mir erschließt sich leider überhaupt nicht, wie der Limes mir dabei helfen soll, nur die Konvergenz von an zu zeigen.

Wenn jemand mir helfen könnte, wäre ich sehr dankbar. Gerne ganze Schritte, aber auch ein Ansatz würde mir schon weiterhelfen, da ich absolut gar nichts dazu habe.

Text erkannt:

(b) Sei \( \left(I_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Familie von abgeschlossenen Intervallen \( I_{n}=\left[a_{n}, b_{n}\right] \), für die gilt:
\( I_{0} \supset I_{1} \supset I_{2} \supset \ldots \supset I_{n} \supset I_{n+1} \supset \ldots \)

Ferner gelte
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)=0, \)
das heißt die Intervalllänge konvergiert gegen 0 .
Zeigen Sie, dass dann die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) der linken Eckpunkte eine Cauchyfolge ist.

Comments

Zeige für beliebige natürliche Zahlen n und p:

$$|a_{n+p}-a_n|\leq b_n-a_n$$

Answer 1

Aufgrund der Inklusionskette haben wir für alle \(n\in\mathbb N\)

\(a_n \leq a_{n+1} \leq b_0 \)

Damit ist \((a_n)\) eine monoton steigende beschränkte Folge, die somit konvergent ist.

Konvergente Folgen sind Cauchy-Folgen.

Fertig.