Text erkannt:
\( a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}, \quad b_{n}=\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k !}, \quad n \in \mathbb{N} . \)
Setzen wir e \( :=\exp (1) \), so wissen wir aus der Vorlesung, dass \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}= \) e. Zeigen Sie nun
(a) \( 2 \leq b_{n}<3, n \in \mathbb{N} \),
(b) \( a_{n} \leq b_{n}, n \in \mathbb{N} \),
(c) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=\mathrm{e} \).
Hinweis zu (b) und (c): Zeigen Sie mithilfe des binomischen Lehrsatzes
\( a_{n}=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{k !} \prod \limits_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right)\right) . \)
Seien Sie unbesorgt: das Produkt lässt sich leicht abschätzen. Vergleichen Sie die Summanden mit den Summanden von \( b_{n} \). Grenzwerte von Folgen sind gleich, wenn die Differenz der Folgen eine Nullfolge ist.
Aufgabe: es geht um die Aufgabe b
Problem/Ansatz: ich verstehe das grundlegende Vorgehen mit dem bin-Lehrsatz, aber beim auseinanderziehen des binomialkoeffizienten komme ich nicht weiter. Wie muss ich da weiter vorgehen?
Text erkannt:
6.b) \( \quad \begin{aligned} a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array} \mid 1^{n-k} \cdot 1^{k}\right. & =\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{n !}{k ! \cdot(n-k) !} 1 \cdot \frac{1}{n}^{k} \\ & =\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k !} \cdot \frac{n !}{(n-k) !} \frac{1}{n}^{k}\end{aligned} \)
