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Folgern Sie aus dem Binomischen Lehrsatz: Für n ∈ IN ist.

$$\text { (c) } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( \begin{array} { c } { 2 n + 1 } \\ { k } \end{array} \right) = 2 ^ { 2 n }  \\ \text { (d) } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( \begin{array} { c } { 2 n } \\ { k } \end{array} \right) k = 2 ^ { 2 n - 1 } n$$

von 2,5 k
Hast du schon versucht dich von der Lösung von

https://www.mathelounge.de/4478/summen-berechnen-mit-hilfe-des-binomischen-lehrsatzes

ispirieren zu lassen? Möglicherweise lässt sich 2n durch N substituieren.

 

Hier kommt ja 4^n… raus.

Könnte vielleicht aus (2+2)^n stammen?
Mir hat das zumindest nicht so wirklich weitergeholfen. Wär schön, wenn die Aufgaben nochmal jemand aufdröselt.

1 Antwort

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Beste Antwort

Herleitung der Formel für 1/2*(1+1)2n+1 für die Aufgabe c)

$$ \left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {k}\end{array}\right)=\frac{(2 n+1) !}{k ! *(2 n+1-k) !}=\frac{(2 n+1) !}{(2 n+1-k) ! * k !}=\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {2 n+1-k}\end{array}\right) $$

Daraus folgt, wenn die Summe nur von \( k=0 \) bis \(  n \) läuft, ergibt das die Hälfte, wie wenn sie von \( 0 \) bis \( 2n+1 \) laufen würde.

\( (a+b)^{m} \) ausmultiplizieren für \( a=1 ; b=1 ; m=2 n+1 \):

$$\begin{array}{l}{\frac{1}{2} *(1+1)^{2 n+1}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {k}\end{array}\right)=} \\ {\frac{1}{2} *\left(1^{2 n+1} 1^{0}\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {0}\end{array}\right)+1^{2 n} 1^1 \left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {1}\end{array}\right)+\ldots+1^{1} 1^{2 n}\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {2 n}\end{array}\right)+1^{0} 1^{2 n+1}\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {2 n+1}\end{array}\right)\right)=} \\ {\left(1^{2 n+1} 1^{0}\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {0}\end{array}\right)+1^{2 n} 1^{1}\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {1}\end{array}\right)+\ldots+1^{n+1} 1^{n}\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {n}\end{array}\right)\right)=} \\ {\frac{1}{2} * 2^{2 n+1}=2^{2 n}}\end{array}$$

von 2,3 k
danke, sehr ausführlich und nachvollziehbar!

Hey sorry, aber woher kommt die 1/2?

Herleitung der Formel für 1/2*(1+1)^{2n+1} für die Aufgabe c)

Hast du die Einleitung zur Rechnung gesehen?

Da ist 1/2 schon vorgegeben.

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