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Aufgabe:

Beweisen oder widerlegen SIe:

i) für n ∈ ℕ gerade: $$\sum \limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k\ 7^k\ 2^{n-k}\ = \sum \limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k} 3^k\ 2^{n-k} $$


Problem/Ansatz:

In meinem Lösungsversuch hab ich die Seiten wie folgt versucht umzuformen:

LS:

$$ \sum \limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k\ 7^k\ 2^{n-k}\\ \Longrightarrow \sum \limits_{k=0}^{n}(-1)^k (2+7)^n $$ für ein gerades n ergibt sich in der Summe über (-1)^k ein positiver Wert und somit gilt (2+7)^n

RS:

$$ \sum \limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 3^k\ 2^{n-k} \\ \Longrightarrow (2+3)^n = 5^n $$


nun weiß ich nicht mehr weiter und bin mir auch nicht sicher ob es so genügt, um die Aussage widerlegen zu können. Oder ist sie doch wahr? :)

von

hat sich erledigt ... \(\;\;\;\)

2 Antworten

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Beste Antwort

Fasse (-1)^k*7^k zusammen zu (-7)^k.

Damit berechnet dein linker Term (-7+2)^n.

von 43 k
+1 Daumen

Bedenke, dass für gerades n gilt

  (-5)^n = 5^n  also auch

(2-7)^n = (3+2)^n .

Wende darauf den binomischen Satz an.

von 265 k 🚀

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