Aufgabe:
Es sei die Funktion ƒ: ℝ→ℝ mit f(x) := 1 für x ∈ ℚ | 0 für x ∈ ℝ \ ℚ
Zeigen Sie: Es gibt keinen Punkt x ∈ ℝ, in dem f stetig ist.
(1) Zeigen Sie, dass f in keinem Punkt aus R \ Q stetig ist.
(2) Zeigen Sie, dass f in Null nicht stetig ist.
(3) Zeigen Sie, dass f in keinem rationalen Punkt stetig ist.
Problem/Ansatz:
Für x ∈ ℝ \ ℚ war mein Ansatz:
Laut Definition ist eine reelle Zahl eine Menge von äquivalenten Cauchy-Folgen von rationalen Zahlen.
Sei xo ∈ ℝ \ ℚ, so existiert eine Cauchy Folge (xn) von rationalen Zahlen mit \( \lim\limits_{n\to\infty} \) xn = xo.
Da xn ⊄ ℝ \ ℚ, gilt (f(x)) = (1,1,1,1,1,...) und somit \( \lim\limits_{n\to\infty} \) f(xn) = 1 ≠ 0 = f(xo).
Mein Problem ist, dass soweit ich es verstehe, f in Null stetig ist, da \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{1}{n} \) = 0 und \( \frac{1}{n} \) ∈ ℚ, und somit \( \lim\limits_{n\to\infty} \) f(xn) = f(xo) für xo = 0 ∈ ℚ
