x3 kongruent 12 mod 13 lösbar?

Question

Aufgabe:

(a) Sei $p \in \mathbb{N}$ eine Primzahl. Wie viele dritte Potenzreste gibt es $\bmod p$, d.h. für wie viele Restklassen $b \in \mathbb{F}_{p}$ besitzt folgende Kongruenz eine Lösung?

$x^{3} \equiv b \bmod p$

(b) Finden Sie alle dritten Potenzreste $\bmod 13$.

(c) Ist die Kongruenz $x^{3} \equiv 12 \bmod 13$ lösbar? Finden Sie ggf. alle Lösungen in $\mathbb{F}_{13}$.

Problem/Ansatz:

Bei der a habe ich nach p kongruent 1 mod 3 und p kongruent 2 mod 3 unterschieden. So ganz komme ich nicht weiter.

und bei b und c muss es einen Trick geben den ich nicht finde. Kann mir jemand helfen?

Comments

b: 1,5,8,12

c: 4,10,12

Aber das ist mechanisch berechnet. Gibt es eine mathematische Begründung?