Zeigen Sie: E[f(X)·g(Y)] = E[f(X)]·E[g(Y)]

Question

Guten Tag liebe Community. Ich habe hier folgende Frage:

Aufgabe:

Es seien X:Ω→E und Y:Ω→G unabhängige Zufallsvariablen. Weiterhin seien f:E→ℝ und g:G→ℝ messbar und beschränkt. Zeigen Sie: E[f(X)·g(Y)] = E[f(X)]·E[g(Y)]

Problem/Ansatz:

Also ich weiß, dass für unabhängige Zufallsvariablen folgendes gilt: E[XY]= E[X] E[Y].

Über weitere Ideen würde ich mich sehr freuen. Vielen Dank.

Answer 1

Zeige, dass die Zufallsvariablen \(f(X)\) und \(g(Y)\) unabhängig sind. Dann folgt die Behauptung direkt aus der von dir genannten Eigenschaft. Die Unabhängigkeit kannst du direkt über die Definition und die Umkehrfunktionen \(f^{-1}\) und \(g^{-1}\) zeigen.