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Aufgabe:

In (a) und (b) ist je ein Glücksrad definiert, bei dem sowohl innen als auch außen
ein Ergebnis abgelesen werden kann. Die Zufallsvariable zum äußeren Ergebnis bezeichnen
wir mit X und die zum inneren Ergebnis mit Y . Beantworten Sie je mit Begründung die
Frage, ob X und Y unabhängig sind und berechnen Sie E(X · Y ) und V (X · Y ).

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Problem/Ansatz:

a)

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Die Zufallsvariablen sind nicht unabhängig, denn es gilt z.B.
P(X = 0, Y = 10) = \( \frac{1}{2} \) ≠ \( \frac{1}{4} \) = \( \frac{1}{2} \) · \( \frac{1}{2} \) = P(X = 0) · P(Y = 10).


E(X·Y ) = 0 · 0 · P(X = 0, Y = 0) + 0 · 10 · P(X = 0, Y = 10) +20 · 0 · P(X = 20, Y = 0) + 20 · 10 · P(X = 20, Y = 10)
= 0 · 0 · 0 + 0 · 10 · \( \frac{1}{2} \) + 20 · 0 · \( \frac{1}{2} \) + 20 · 10 · 0 = 0


b)

blob.png

Die beiden Zufallsvariablen sind unabhängig, denn es gilt für alle k ∈
W(X) und alle j ∈ W(Y )
P(X = k, Y = j) = \( \frac{1}{4} \) = \( \frac{1}{2} \) · \( \frac{1}{2} \) = P(X = k) · P(Y = j).


E(X·Y ) = 50 · 2 · P(X = 50, Y = 2) + 50 · 10 · P(X = 50, Y = 10) +100 · 2 · P(X = 100, Y = 2) + 100 · 10 · P(X = 100, Y = 10)
= 50 · 2 · \( \frac{1}{4} \) + 50 · 10 · \( \frac{1}{4} \) + 100 · 2 · \( \frac{1}{4} \) + 100 · 10 · \( \frac{1}{4} \)
= 25 + 125 + 50 + 250 = 450


Ist das so richtig?

Ich tue mich irgendwie schwer hier die Varianz auszurechnen

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In (a) und (b) ist je ein Glücksrad definiert, bei dem sowohl innen als auch außen
ein Ergebnis abgelesen werden kann. Die Zufallsvariable zum äußeren Ergebnis bezeichnen
wir mit X und die zum inneren Ergebnis mit Y . Beantworten Sie je mit Begründung die
Frage, ob X und Y unabhängig sind und berechnen Sie E(X · Y ) und V (X · Y ).

a)

P(Y = 0 | X = 0) = 0
P(Y = 0 | X = 20) = 1

Y ist hier klar von X abhängig.

E(X*Y) = 0
V(X*Y) = 0

b)

P(Y = 2 | X = 50) = 1/2
P(Y = 2 | X = 100) = 1/2

Y ist nicht von X abhängig

E(X*Y) = 200*0.25 + 500*0.25 + 100*0.25 + 1000*0.25 = 450

V(X*Y) = (200 - 450)^2*0.25 + (500 - 450)^2*0.25 + (100 - 450)^2*0.25 + (1000 - 450)^2*0.25 = 122500

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