Funktion 3. Grades, Nullstellen möglichst weit auseinander

Question

kann mir jemand sagen welche werte ich für a, b und c angeben muss, damit die linke nullstelle einer funktion ax^3+bx^2+cx-1 möglichst weit weg von den anderen nullstellen liegt? also müssen a, b und c möglichst hohe oder niedrige zahlen, gar brüche oder negative zahlen sein?

Answer 1

Es muss

1)

| a | möglichst nahe bei Null sein, denn dann wird die Parabel sehr flach, und

2)

für positives a muss c eine negative Zahl mit sehr großem Betrag bzw.
für negatives a muss c eine sehr große positive Zahl sein. In beiden Fällen ist der Scheitelpunkt dann sehr weit von der x-Achse entfernt, sodass die Nullstellen sehr weit auseinander liegen.

Comments

Warum muss  |c|  sehr groß sein? Woraus folgt, dass das Absolutglied gleich  -1  ist? Und was ist mit  b?

Answer 2

sei  a > 0  und  p(x) = (ax + 1)(x - 1)(x + 1) = ax³ + x² - ax - 1.
Die Nullstellen sind  x₁ = -1/a, x₂ = -1  sowie  x₃ = 1. Je kleiner  a  gewählt wird, desto größer wird der Abstand von  x₁  zu den anderen Nullstellen. Wähle weiter b = 1  und  c = -a.