Schwerpunkt im Dreieck Geometrie Beweis mit Formel

Question

Aufgabe:

Es gelten die Axiome der euklidischen Geometrie. Sei \( \triangle A B C \) ein Dreieck mit Seitenlängen \( a:=|B C|, b:=|A C| \) und \( c:=|A B| \), und sei \( P \) der Schwerpunkt von \( \triangle A B C \), d.h. der gemeinsame Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden. Beweisen Sie die Formel
\( |A P|^{2}=\frac{2\left(b^{2}+c^{2}\right)-a^{2}}{9} . \)

Problem/Ansatz:

Finde keinen Ansatz zur Aufgabe. Vielen Dank für eure Hilfe

LG

Answer 1

Es sollte bekannt sein, dass sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilen.

Wenn M der Mittelpunkt von BC ist, so gilt AP = 2/3 * AM.

Die zu beweisende Behauptung ist somit äquivalent zu

\( \frac{4}{9}|A M|^{2}=\frac{2\left(b^{2}+c^{2}\right)-a^{2}}{9} . \)

Du solltest versuchen, \( |A M|^{2} \) einmal im Dreieck ABM und einmal im Dreieck AMC mit dem Kosinussatz auszudrücken und dann beide Gleichungen addieren. Zur Vereinfachung trägt bei, dass cos(∠AMB)= - cos(∠CMA) gilt (die beiden Winkel ergänzen sich zu 180°).

Comments

addiere den Kosinussatz von \( \triangle A B M \) und \( \triangle A M C \)
\( \begin{array}{l} \left(\frac{1}{2} a^{2}+c^{2}\right)-2 \cdot\left(\frac{1}{2} a c\right) \cdot \cos (A M B)+ \\ \left(\frac{1}{2} a^{2}+b^{2}\right)-2 \cdot\left(\frac{1}{2} a-b\right) \cdot(-1) \cos (c M A) \end{array} \)

\( |A P|^{2}=\frac{4}{9}|A M|^{2}=a^{2}+c^{2}+b^{2}-(a c) \cos (A M B)+(a b) \cos (C M A)=\frac{2\left(b^{2}+c^{2}\right)-a^{2}}{9} \)

Stimmt das ?

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Nein.

Im Teildreieck AMC gilt (1)   b²=|AM|² +(a/2)² -2|AM|(a/2) cos ∠CMA.

Im Teildreieck ABM gilt c²=|AM|² +(a/2)² -2|AM|(a/2) cos ∠AMB.

Wegen cos ∠AMB = - cos ∠CMA wird die zweite Gleichung zu

(2)  c²=|AM|² +(a/2)² +2|AM|(a/2) cos ∠CMA.

Addition von (1) und (2) liefert

b² + c² = 2|AM|²+2(a²/4)

Stelle das nach |AM|² um.

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Vielen Dank!

Answer 2

Mit Vektoren ginge es vielleicht so:

\(\overrightarrow {AP}=\frac23 (\vec c + \frac 12( \vec b -\vec c) )\\=   \frac13 (\vec c + \vec b ) \)

\(\left(\overrightarrow {AP}\right)^{2}= \frac19 (\vec c + \vec b )^2\\= \frac19 (c^{2} + 2~\vec c~\vec b + b^2)\)

Nun muss noch gezeigt werden, dass gilt:

\( 2~\vec c~\vec b = b^2+c^2-a^2\)

Mit dem Cosinussatz ist das kein Problem.

:-)

Comments

Vielen Dank, habe ich es mit den folgenden Umformungen automatisch bewiesen?

2cb = b²+c²-a²

a² = b² + c² - 2bc * cos(α)

…

<=> 2bc= b² + c² - a²  / cos(α)

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Der Cosinus gehört auf die andere Seite der Gleichung, um mit b•c das Skalarprodukt zu vervollständigen.

Answer 3

Einfach etwas herumrechnen als erstes musst du den Schwerpunkt überhaupt ermitteln. Hierfür schneidest du die Seitenhalbierenden d.h du stellst allgemein diese 2 Geraden auf und schaust in welchem Punkt sie sich schneiden.