Schwerpunkt im Dreieck

Question

Wie würdet ihr in einem Dreieck eine Beweisrechnung zur Schwerpunktsgleichung mithilfe von Vektoren machen? Für Antworten 

Answer 1

Dazu gibt es sehr viel im Internet. Z.B. hier

Answer 2

Beweis geht vielleicht so:

Denke dir eine Dreiecksecke A im Ursprung und die anderen beiden B und C

mit den Ortsvektoren b und c.

Der Schwerpunkt ist ja der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.

Der Mittelpunkt  M_BC von BC hat den Ortsvektor 0,5*(b+c) , also jeder Punkt

auf der Strecke von A nach  M_BC hat Ortsvektor x*0,5*(b+c) .

Und S liegt auf dieser Strecke, also ist der Ortsvektor von S von der

Form x*0,5*(b+c) .

Außerdem liegt S auf der Strecke von der Mitte von AB zu C und hat also einen

Ortsvektor von der Art  0,5b + y*M_ABC = 0,5b + y*(c -0,5b).

Gleichsetzen gibt  x*0,5*(b+c) = 0,5b + y*(c -0,5b)

<=>  0,5xb -0,5b + 0,5yb    +   0,5xc -yc   = 0

==>  0,5x-0,5+0,5y = 0    und   0,5x - y = 0

                                                          y=0,5x

        0,5x -0,5 +0,25x = 0

                  0,75x = 0,5

                         x = 2/3       also y = 1/3

Also hat S den Ortsvektor  1/3 * ( b+c) .

Und wenn man nicht A in den Ursprung legt ,

hat S also den Ortsvektor  1/3 * ( a+b+c) .