Mengen und Beweisen.

Question

Seien M und N Mengen und bezeichne M △N die Menge aller Elemente, die entweder in M oder in N (aber nicht in beiden) enthalten sind. Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln:
(a)  M △N =  (M \N ) ∪ (N \M ).

(b)  M △N =  (M ∪ N ) \ (M ∩ N ).

Comments

Mach dir ein Venn-Diagramm zur Veranschaulichung!

Answer 1

M △N die Menge aller Elemente, die entweder in M oder in N
(aber nicht in beiden) enthalten sind.

Wenn also x∈M △N ist, dann gilt

(x∈M und x∉N)  oder (x∈N und x∉M)

<=> x∈M\N  oder  x∈N\M

<=> x∈(M\N) ∪ (N\M). Damit hast du das erste.

Und entsprechend:

M △N die Menge aller Elemente, die entweder in M oder in N
(aber nicht in beiden) enthalten sind.

Wenn also x∈M △N ist, dann gilt x ist zumindest in einer der

Mengen enthalten, also in  M ∪ N allerdings nicht in beiden

also nicht in M ∩ N .

Somit x∈ (M ∪ N ) \ (M ∩ N ). q.e.d.