Berechnung von Marginaldichten

Question

Aufgabe:

Sei M := {(x₁,x₂)∈ ℝ² | x₁² + x₂² ≤ 1} die Einheitskreisfläche. Sei (x₁,x₂) ein zufällig aus M gewählter Punkt. Geben Sie die Dichte f: ℝ² → ℝ für die Verteilung von (x₁, x₂) an, und Berechnen Sie die beiden Marginaldichten  f_1 , f₂ : ℝ → ℝ.

Problem/Ansatz:

Ich habe die Lösung aber ich verstehe nicht, warum für (x₁,x₂)∈Μ die Dichte 1/π ist. Wie haben wir das berechnet oder woher haben wir das verstanden?

Comments

Der Rest der Aufgabe lautet:

b) Zeigen Sie, dass x₁ und x₂ nicht stochastisch unabhängig sind.

c) Seien die Zahlen y₁ und y₂ zufällig gewählt und stochastisch unabhängig, mit den Wahrscheinlichkeiten f₁ bzw. f₂ aus (a). Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsdichte f´ : ℝ² → ℝ des Punktes (y₁ , y₂)?

d)Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Punkt (x₁,x₂) aus (a) im Quadrat Q:= (-1/2, 1/2)x(-1/2, 1/2) liegt.

e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Punkt (y₁ , y₂) aus (c) im Quadrat Q liegt. Hinweis zu e): \( \sqrt{1-x²} \) integriert man mittels Substitution x = sinu, und am Ende braucht man eine Stammfunktion von cos²u, und das ist 1/2(u+cosusinu) = 1/2(u ± sinu\( \sqrt{1-sin²u} \)).

Ich verstehe den Rest auch nicht ganz. Ich brauche Erklärung der Lösung. Dankeschön.

Answer 1

Der Einheitskreis hat eine Fläche von \(\pi\). Also hat die konstante Dichte den Wert \(\frac{1}{\pi}\), damit das Integral 1 ergibt, wie für Dichten gefordert.