Berechne alle komplexen Zahlen z, die folgende Gleichung erfüllt

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie alle komplexen Zahlen $z$, die die folgende Gleichung erfüllen:
$z^{3}=\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}} \text {. }$

Lösungsmenge: $\{z 1, z 2, \ldots\}$
Hinweise:
- Geben Sie die Lösungsmenge in geschweiften Klammern an und trennen Sie die Elemente durch Kommata.

Problem/Ansatz:

Hi Leute, ich hoffe ihr könnt mir hier helfen. Ich habe das zwar gerechnet bin mir aber sehr unsicher ob es richtig ist. Am Anfang habe ich die Gleichung aufgestellt wo z=re ist und habe somit Z3 berechnet also in meinem Fall z=2Wurzel -12 Wurzel 2. Ja ich weiß das hört sich sehr komisch an deswegen wollte ich fragen kann mir jemand helfen und mir das richtige Ergebnis der von z1,z2,z3 nennen ? falls meins richtig ist dann sagt mir gerne bescheid. Dankee:** P.S. bittet achtet auf den Hinweis im TEXT.

Answer 1

Aloha :)

Wir suchen die 3 Lösungen der Gleichung:$$z^3=\frac{i}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}=(-1)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}\,i\right)=\left(\underbrace{\cos\pi}_{=-1}+i\,\underbrace{\sin\pi}_{=0}\right)\cdot\left(\underbrace{\cos\frac\pi4}_{=\frac{1}{\sqrt2}}-i\,\underbrace{\sin\frac\pi4}_{=\frac{1}{\sqrt2}}\right)$$$$\phantom{z^3}=e^{i\pi}\cdot e^{-i\,\frac\pi4}=e^{i\pi-i\,\frac\pi4}=e^{i\,\frac34\pi}$$

Dazu erinnern wir uns daran, dass wir zu dem Argument (Winkel) einer komplexen Zahl beliebig oft $2\pi$ addieren oder subtrahieren dürfen, ohne den Wert der Zahl zu ändern:$$z^3=e^{i(\frac34\pi+n\,2\pi)}\quad;\quad n\in\mathbb Z$$Nun potenzieren wir beide Seiten mit $\frac13$:$$\left(z^3\right)^{\frac13}=\left(e^{i(\frac34\pi+n\,2\pi)}\right)^{\frac13}\quad\implies\quad z=e^{\small i\left(\frac\pi4+\frac{n}{3}\,2\pi\right)}$$

Gültige Lösungen erhalten wir für diejeningen $n$-Werte, für die das Argument (Winkel) der komlpexen Zahl im Intervall $[-\pi;+\pi]$ liegt, also für $n=-1$, $n=0$ und $n=1$.

$$z_{-1}=e^{\small-\frac{5i}{12}\,\pi}\quad;\quad z_0=e^{\small \frac i4\,\pi}\quad;\quad z_1=e^{\small\frac{11i}{12}\,\pi}$$

Answer 2

Dein Ergebnis ist nicht lesbar.

Zuerst umwandeln in Polarform: Wir haben $\frac1{\sqrt2} (-1+i)$. Nun ist $-1+i=\sqrt2\, e^{\frac34\pi\,i}$ (umwandeln geht schnell und sicher durch eine Skizze!). Nun setze zusammen und ziehe die dritte Wurzeln durch Dritteln des Exponenten, unter Beachtung der Periodizität (also im Exponenten $+2k\pi$, es gibt ja insgesamt drei Lösungen, nicht nur eine).

Aus dem Radius muss man normalerweise auch noch die dritte Wurzel ziehen, aber schau mal, wie das hier aussieht.

Comments

hmm :/ ich weiß nicht wie das passiert ist aber kannst du mir vielleicht nennen was du raus hast ? und auch gerne wie du das gemacht hast ? Also mit Erklärungsweg wäre sehr nett. Danke im Voraus :**

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Der Erklärungsweg steht ja da. Folge dem, soweit wie Du kommst, dann helfe ich weiter. Was erhältst Du?