Aloha :)
Wir suchen die 3 Lösungen der Gleichung:$$z^3=\frac{i}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}=(-1)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}\,i\right)=\left(\underbrace{\cos\pi}_{=-1}+i\,\underbrace{\sin\pi}_{=0}\right)\cdot\left(\underbrace{\cos\frac\pi4}_{=\frac{1}{\sqrt2}}-i\,\underbrace{\sin\frac\pi4}_{=\frac{1}{\sqrt2}}\right)$$$$\phantom{z^3}=e^{i\pi}\cdot e^{-i\,\frac\pi4}=e^{i\pi-i\,\frac\pi4}=e^{i\,\frac34\pi}$$
Dazu erinnern wir uns daran, dass wir zu dem Argument (Winkel) einer komplexen Zahl beliebig oft \(2\pi\) addieren oder subtrahieren dürfen, ohne den Wert der Zahl zu ändern:$$z^3=e^{i(\frac34\pi+n\,2\pi)}\quad;\quad n\in\mathbb Z$$Nun potenzieren wir beide Seiten mit \(\frac13\):$$\left(z^3\right)^{\frac13}=\left(e^{i(\frac34\pi+n\,2\pi)}\right)^{\frac13}\quad\implies\quad z=e^{\small i\left(\frac\pi4+\frac{n}{3}\,2\pi\right)}$$
Gültige Lösungen erhalten wir für diejeningen \(n\)-Werte, für die das Argument (Winkel) der komlpexen Zahl im Intervall \([-\pi;+\pi]\) liegt, also für \(n=-1\), \(n=0\) und \(n=1\).
$$z_{-1}=e^{\small-\frac{5i}{12}\,\pi}\quad;\quad z_0=e^{\small \frac i4\,\pi}\quad;\quad z_1=e^{\small\frac{11i}{12}\,\pi}$$
