Aufgabe:
Es ist keine direkte Aufgabe da.
Folgendes Szenario, gegeben ist eine Matrix, Aufgabe ist es das charakteristische Polynom und Minimalpolynom zu bestimmen.
Das char. Polynom ist einfach, selbst wenn man bei einer 6x6 Matrix mit Laplace sich etwas quält, so mein Eindruck.
Das Minimal Polynom ist was mir etwas "Kopf" bereitet.
Verstehe ich das richtig, dass man hier die von der Potenz kleinste mögliche Zerlegung sucht ?
Und wie lässt sich prüfen ob das Minimalpolynom auch dann endgültig, dass Minimalpolynom ist am Ende ?
Nehmen wir ein Beispiel aus einer Aufgabe.
Charakteristisches Polynom ist
$$(2-\lambda)^2(1-\lambda)$$
aus folgender Matrix:
$$\begin{pmatrix} 2 &0 & -3 \\ 0 & 2 & -3\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Aus einigen Beiträgen und der Musterlösung weiß ich, dass man über die dim(ker) für einen Eigenwert die Potenz bestimmen lässt.
In einem Video wurde das Anhand eines anderen Beispiels anders gemacht, das Minimalpolynom wurde nach den EW Bestimmung mit der kleinsten Potenzangenommen und nach dem Satz von Cayley Hamilton gleich 0 gesetzt. Da aus dem Video 2 EW gegeben waren, war das "simpel".
Problem/Ansatz:
Meine Frage ist nun, könnte ich nicht auch ein Minimalpolynom erhalten welches auch eine höhrere Potenz hat als über der Klammer ?
Wenn ja, wie gestalte ich das vorgehen dann dort ?
Doch über die Dimension des Kerns minus den Rang der Matrix selbst?
Ich versuche hier für mich Klarheit zu finden, welche Methode ich mir eher merken sollte. Am Ende werde ich irgendwo beide gesehen haben.
Meiner Meinung nach ist der Weg mit der Dimension ein sicherer als derjenige über Cayley Hamilton.
Vielen Dank
