Wie löst man hier die i.) mit cauchy-Riemannschen differentialgleichung?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

4. Schriftliche Aufgabe
Komplexe Differenzierbarkeit
6 Punkte
(1) Zeigen Sie, dass folgende Funktion nicht komplex differenzierbar ist:
$f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} .: \rightarrow \operatorname{Re}(z) \text {. }$

Führen Sie den Beweis sowohl mit Cauchy-Riemann'vhen Differentialgleichmoen als anch ohne durch.

Problem/Ansatz:

Wie löst man hier die i.)? Verstehe nicht genau wie man es mit diesem Wertebereich macht.

Comments

Wertebereich Re(z) bedeutet einfach dSs der Imsginärteil von f(z) gleich 0 ist.

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Der Wertebereich ist $\R$, der Defbereich $\mathbb{C}$. Die Funktionsvorschrift lautet $f(z)=Re(z)$, alles Standardnotation.

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Oh je, da habe ich mich sprachlich vergaloppiert. Gut, dass Du es richtig kommentiert hast.

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Das ist eine sehr einfache Aufgabe. Wo liegt dein Problem?

Versuche als Erstes die Funktion in der Form

$f(x+iy) = u(x,y) + i\cdot v(x,y)$

aufzuschreiben. Beachte dabei, dass bei den Funktionstermen für $u,v$ nicht alle Variablen auftauchen müssen. Es kann sogar passieren, dass weder $x$ noch $y$ vorkommen.

Das dürftest du doch hinbekommen, oder?

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Text erkannt:

$\text { Anfrathe } 4$
i.)
$\begin{array}{l} \text { i.) } f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}, z \mapsto \operatorname{Re}(z) \\ z=x+y i \\ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \quad u=\operatorname{Re}(f) \text { und } v=\lim (f) \end{array}$
da $\quad: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}$ ist $v=0$, somít, ilt :
$\frac{\partial u}{\partial y}=0$
da $\frac{\partial u}{\partial x}=0$ folgt, dass $\frac{\partial u}{\partial z}=0$. Somit erfullt
fricht lie Candry-Riemannsuhen Differentidgleidmury und ist nicht homplex differentrebar.

Beweis ohn Canchy - Risemanöchen Differentialqledemmen betrachter die Grensmate: $\frac{f\left(z_{0}+h\right)-f\left(z_{0}\right)}{h}$ and
$\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(z_{0}+i h\right)-f\left(z_{0}\right)}{i h}$

würde das ausreichen? und dann halt noch die Grenzwerte berechnen

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Wieso folgt aus $v=0$, dass $\frac{\partial u}{\partial y}=0$? Hat doch gar nichts damit zu tun. Und wieso plötzlich $\frac{\partial u}{\partial z}$? Kommt doch in den CRDgl gar nicht vor.
Der Schlüssel zur Aufgabe (wie bei vielen Mathe-Aufgaben) ist sorgfältiges Vorgehen und auf jedes einzelne Zeichen achten.

Und zuerst solltest Du mal feststellen, was $u,v$ überhaupt ist bevor Du loslegst.

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$\frac{δu}{δy}$=-$\frac{δv}{δx}$

wenn v= 0 dann ist doch der ganze term 0. u ist der Realteil und v ist der Imaginärteil. Wenn CRD nicht erfüllt werden ist die Funktion nicht komplex differenzierbar oder? In dieser Aufgabe muss ich zeigen dass die CRD nicht erfüllt werden.

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Fang präzise an. "der ganze Term" - in der Aufgabe sind zig Terme.

Nochmal: Erster Schritt vor allem anderen: Schreib die Funktionen u, v sauber und vollständig auf. Danach geht's los.

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u(x,y)=z, v(x,y)=0

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siehe unten......

Answer 1

Nochmal: erster Schritt: u(x,y)=?, v(x,y)=?

Danach bist Du so gut wie fertig (CRDgl prüfen ist simpel).

Comments

v ist richtig, u nicht. z kommt da eben gar nicht drin vor. u und v sind Funktionen von x und y und sonst von nichts.

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u ist x oder , einfach der Realteil, da wir kein Imaginärteil haben ist v=0.

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So ist es. u(x,y)=x, v(x,y)=0. Wie sieht's dann mit den CRDgln aus?

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Die sind nicht erfüllt, weil 1≠0, da ux=1 und vy=0.

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Genauso ist es.

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Alles klar. Vielen Dank! Wenn ich es ohne CRD mache, dann einf. Grenzwerte bestimmen oder? Wenn Grenzwert nicht existiert dann ist f nicht komplex differenzierbar?

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Genau. Um die Existenz des Grenzwerts des Diffquot zu widerlegen, findet man am besten zwei versch. Folgen $h\to 0$, so dass der DQ zwei versch. Grenzwerte hat. Dazu geschickt mit Re/Im arbeiten, ist nicht schwer und Dir wird die Gemeinsamkeit mit dem Ergebnis der CRD auffallen.

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Text erkannt:

Bewets dune CACRDdn.:
Wir betrachlen die Genzurte : $\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(z_{0}+h\right)-f\left(z_{0}\right)}{h}$ and
$\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(z_{0}+i h\right)-f\left(z_{0}\right)}{i h}$
erster Genzweit:
$\begin{aligned} \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(z_{0}+h\right)-f\left(z_{0}\right)}{h} & =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h e\left(z_{0}+h\right)-h_{e}\left(z_{0}\right)}{h} \\ & =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{x_{0}+h-x_{0}}{h}=1 \end{aligned}$
$\rightarrow$ Grenewert exishart, somit differentiebar
Zwenter Grenzuet :
$\begin{aligned} \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(z_{0}+i h\right)-f\left(z_{0}\right)}{i h} & =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\operatorname{Re}\left(z_{0}+i h\right)-\operatorname{Re}_{e}\left(z_{0}\right)}{i h} \\ & =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{x_{0}-y_{0}+i h-x_{0}}{i h} \\ & =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{-x_{0}}{h}+i \end{aligned}$
$\rightarrow$ Grenzmet existiet nild, sount nidt inferenziebar. Somit ist ( nidht komplex differenaretare

so?

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In der 2. Zeile steht plötzlich $z_0+ih$, wo vorher $z_0+h$ stand?!
Dann $Re(z_0+h)\neq x_0+h$, sondern $=x_0+Re(h)$.

Wenn das so ginge, wäre (wie Du sagst) $f$ differenzierbar, dann kann ich aber nicht bei anderer Rechnung nicht differenzierbar rauskommen.

Zum 2. Grenzwert: Ja, Du kannst $i\cdot h$ wählen, aber wieder kann man den $Re$ nicht so auseinanderziehen.

Also, ein paar Korrekturen sind noch nötig.

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D.h. grundsätzlich stimmt es aber Re kann man nicht so auseinanderziehen. Das Ergebnis vom ersten Stimmt oder, würde Sinn machen wenn man das mit dem Ergebnis von den CRDgln abgleicht. Beim zweiten würde null rauskommen wenn Re(ih) 0 ist. Dann hätten wir zwei Grenzwerte 1 und 0 und es wäre somit nicht komplex differenzierbar oder?

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Ja, schon, aber Du musst das schon sauber aufschreiben. Du brauchst auch nur einen DQ zu betrachten, dieser ist für alle $h\in \mathbb{C}$: $\frac{Re(h)}h$. Den musst Du für zwei versch. Folgen $h_n\to 0$ auswerten, und diese beiden Folgen auch konkret benennen. Und zwar eben so, dass versch. Grenzwerte rauskommen. Und diese Grenzwerte sind (bei geeigneter Wahl von $h_n$) eben einmal 1 und einmal 0 (gleiches Ergebnis wie in den CRDgln).

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Checks net. Ich brauch nur einen Quotienten und schreib daneben h∈ℂ:$\frac{Re(h)}{h}$ und untersuche das für zwei Folgen, welche Folgen? meinst du einf. benennen, also h1 und h2?

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Es ist der DQ im Grenzwert zu untersuchen: Für $z\in\mathbb{C}$ und $h\to 0, h\in \mathbb{C}$ also $DQ(h)=\frac{f(z+h)-f(z)}h=\frac{Re(h)}h$. Dieser muss (damit $f$ diffbar in $z$ ist) für alle Folgen $h_n\in\mathbb{C}$ mit $h_n\to 0$ konvergieren und zwar gegen den gleichen Grenzwert.

Probiere also einige komplexe Nullfolgen aus, wähle dann zwei konkrete(!) aus, so dass versch. Grenzwerte rauskommen (um eben Diffbarkeit zu widerlegen).

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Text erkannt:

is nirgends komplex diffbar: Für $z_{0} \in \mathbb{C}$ und $h \in \mathbb{C}$ gilt
$\frac{f\left(z_{0}+h\right)-f\left(z_{0}\right)}{h}=\frac{\overline{z_{0}+h}-\overline{z_{0}}}{h}=\frac{\overline{z_{0}}+\bar{h}-\overline{z_{0}}}{h}=\frac{\bar{h}}{h}$

Fir $h:=h(\lambda):=\lambda$ mit $\lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\overline{h(\lambda)}}{h(\lambda)}=\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \frac{\lambda}{\lambda}=1$
Fir $h:=h(\lambda)=i \lambda$ mit $\lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow \lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \frac{\overline{h(\lambda)}}{h(\lambda)}=\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \frac{-\lambda}{\lambda}=-1$

in dieser Art? wenn ich lambda einsetze kommt aber nicht 1 durch 1 raus. Kannst du Beispiele von komplexen Nullfolgen nennen

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Das ist aber ne andere Funktion...

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ja genau aber von der Vorgehensweise gleich oder?

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Von der Idee her, ja.

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ich kenne nur reele Nullfolgen. Meinst du reele mit einem i dann dabei?

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Wenn Du komplexe Zahlen kennst, dann kennst Du auch komplexe Nullfolgen. Eine komplexe Nullfolge ist eine Folge, bei der sowohl Real- als auch Imaginärteil gegen 0 gehen (steht in Deinen Vorlesungsunterlagen).

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Weil wir kein Imaginärteil haben muss nur der Realteil gegen 0 gehen und das machen wir indem wir h=0 einsetzen? ich verstehe nicht wie wir da 2 Nullfolgen haben wenn wir nur Re null setzen. Reelle Nullfolge: 1/n, 1/n²,...

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Was heißt "wir haben"? Benenne konkret zwei Nullfolgen. Wenn Du reelle kennst, setze die zu komplexen zusammen. Irgendeine reelle Nullfolge wirst Du ja kennen.