Grenzwert Folge nachweisen

Question

Hallo zusammen,

Ich bin auf der Suche nach einer sauberen Beweisidee für den Grenzwert einer Folge.

Aufgabe:

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \sqrt[n]{2^n+1} \)

Mir ist klar, dass der Grenzwert 2 ist, weil die Potenz 2^n den anderen Summanden dominiert. Kann ich das durch Umformen präziser zeigen? Ich finde leider keinen Trick, wie man hier geschickt erweitern kann.

Answer 1

Hilft dir die Abschätzung \(2^n<2^n+1<2^{n+1}\)?

Comments

Ja, das ist natürlich clever. Damit folgt die Aussage sofort mittels Einschnürungssatz.

Ich hatte mir inzwischen noch folgende Umformung überlegt:

\( \sqrt[n]{2^n+1} \) = \( \sqrt[n]{2^n \cdot (1 + \frac{1}{2^n})} \)
= \( 2 \cdot \sqrt[n]{(1 + \frac{1}{2^n})} \)

Jetzt konvergiert der Term in der Wurzel, ich kann den Grenzwert also "reinziehen" wegen Stetigkeit, oder?

---

Du könntest noch mit der Bernoulli-Ungleichung abschätzen:$$1\le\sqrt[n]{1+\frac{1}{2^n}}=\left(1+\frac{1}{2^n}\right)^{\frac1n}\le1+\frac{1}{n2^n}$$

---

Danke für deinen Tipp. Bernoulli hatten wir leider nur für natürliche Exponenten gezeigt, aber das ist auch eine schöne Lösung :-)

---

1. Du kannst nicht einfach "wg Stetigkeit" oben den Grenzwert reinziehen.

2. Du brauchst noch eine weitere Abschätzung, z.B. Bernoulli. Wenn Du bei "Deiner" Bernoulli-Ungl. (die mit natürlichen Exponenten) auf beiden Seiten die n-te Wurzel ziehst, hast Du die hier verwendete Version. Damit geht es also.

Answer 2

1 kann man vernachlässigen für n ->oo

(2^n)^(1/n) = 2^(1/1) = 2

Comments

Was ist der Mehrwert deiner "Antwort" gegenüber der konkret vom Fragesteller selbst getroffenen Aussage

Mir ist klar, dass der Grenzwert 2 ist, weil die Potenz 2n den anderen Summanden dominiert

?

Du hast vergessen, auf

Kann ich das durch Umformen präziser zeigen? Ich finde leider keinen Trick, wie man hier geschickt erweitern kann.

einzugehen.

Das Gleichheitszeichen in

(2n)^(1/n) = 2^(1/1)

ist übrigens falsch. Konzentrationsproblem?

---

Ist doch nichts Neues, dass Antworten nichts mit den konkret gestellten Fragen zu tun oder inhaltlich nichts Weiteres zu bieten haben.