Aufgabe:
Grenzwert einer Folge bestimmen:
fn n-> ∞= √(n+1) * (√n-√(n-1))
Problem/Ansatz:
Mein Ansatz war es, jeweils das n auszuklammern, so dass einige Terme aufgrund des Grenzwertes gegen unendlich wegfallen. Jedoch komme ich nicht auf das richtige Ergebnis 1/2.
Mit (√n + √(n-1)) erweitern könnte helfen.
Das gibt:
n+1(n−n−1)(n+n−1)n+n−1 \frac{\sqrt{n+1}(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}} n+n−1n+1(n−n−1)(n+n−1)
=n+1n+n−1 = \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}} =n+n−1n+1 Dann mit √n kürzen
=n+1nnn+n−1n = \frac{ \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}}{ \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}+ \frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}} } =nn+nn−1nn+1
Gibt den Grenzwert 11+1 \frac{1}{1+1}1+11
Erweitern mit (√n+√(n-1)). Grenzwert des Kehrwerts ist 2. limn→∞ \lim\limits_{n\to\infty} n→∞lim√(n+1) * (√n-√(n-1))=12 \frac{1}{2} 21.
Hallo
erweitere mit √n + √(n-1) , dann dividiere Zähler und Nenner durch √n
Gruß lul
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