\sum a_n b_n absolut konvergent

Question

Wir haben die folgende Aufgabe erhalten:
$$\text{Sei } \sum \limits_{n \geq 1} a_n \text{ eine absolut konvergente Reihe und sei } (b_n)_{n \geq 1} \text{ eine beschränkte Folge}.\\\text{Beweisen oder widerlegen Sie, dass dann auch die Reihe } \sum \limits_{n \geq 1} a_n b_n \text{ absolut konvergiert.}$$

Wie soll ich diese Aufgabe lösen? Könnte mir jemand dabei helfen?

Comments

Was bedeutet "beschränkt"? Wie kann man damit |a_n*b_n| abschätzen? Mit welchem Kriterium kann man diese Abschätzung nutzen?

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"beschränkt" bedeutet doch, dass es ein X \(\in \mathbb{R}\) gibt, so dass \(|a_n \cdot b_n| \leq X\) oder? Ich weiß nur leider nicht, mit welchem Kriterium ich das machen soll.

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Beschränkt ist doch die Folge (b_n).

Ich weiß nur leider nicht, mit welchem Kriterium ich das machen soll.

Welche kennst Du denn

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Wir haben die monotonie und die daraus folgende Beschränktheit bei Folgen.

Außerdem wenn \(\sum a_n\) und \(\sum b_n\) absolut konvergent sind, dann auch das Produkt beider

Bin gerade unser gesamtes Skript durchgegangen und ansonsten habe ich nichts gefunden. Ich bin mir nicht ganz so sicher, was ich aus diesen beiden folgern soll. Beziehungsweise wäre meine Idee:

Zeigen, dass wenn \(b_n\) beschränkt ist auch absolut kovergent ist. Daraufhin würde auch das zweite gelten.

Answer 1

Wir haben die monotonie und die daraus folgende Beschränktheit bei Folgen.

Das ist so falsch.

Bin gerade unser gesamtes Skript durchgegangen und ansonsten habe ich nichts gefunden.

Dann such mal intensiv nach "Majorantenkriterium"

Jedenfalls besagt die Beschränktheit von \((b_n)\), dass ein reelles c existiert mit \(|b_n| \leq c\) für alle Indizes n. Damit:

$$\forall n \in \N: \quad |a_nb_n| \leq c |a_n| \\\text{  und }\sum_{n=1}^{\infty}|ca_n|=c\sum_{n=1}^{\infty}|a_n| \text{  ist absolut konvergent.}$$

Dann sagt das Majorantenkriterium, dass die Reihe über die \(a_nb_n\) abolut konvergiert.

Comments

Ach vielen lieben Dank! Auf die Idee wäre ich niemals gekommen dieses Kriterium zu verwenden. Macht aber auf jeden Fall Sinn! Einfach abschätzen :)

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Ideen kommen einem am leichtesten in den Sinn, wenn man das verfügbare Wissen parat hat.