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Aufgabe:

Sei (an) eine Folge, die für n → ∞ bestimmt gegen ∞ divergiere und sei (bn) eine Folge, so dass \( \lim\limits_{n\to\infty} \)  anbn = c ∈ R .

Was kann über die Konvergenz der Folge (bn) gesagt werden? Beweisen Sie ihre Behauptung!


Problem/Ansatz:

Ich habe nur ein paar Ideen:

bn muss gegen 0 konvergieren sodass das Produkt der Folgen gegen c∈ℝ konvergiert, wobei in meinem Fall c = 0 ist. Allerdings soll das für c beliebig gelten. Beispiel:

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) ln(x) * \( \frac{5n^2+3n-2}{10n^2+4n} \)

Sei an =  ln(x) und bn = \( \frac{5n^2+3n-2}{10n^2+4n} \)

während an gegen unendlich divergiert, divergiert bn gegen 0.5. Das Produkt der beiden divergiert, deshalb fällt mir kein anderes c ∈ R ein als die Null.

Ich hoffe jemand kann helfen und sagen was für bn gelten muss.

von

1 Antwort

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Du kannst gut deine Vermutung (b_n) ist eine Nullfolge nehmen und zeigen. Deine Ideen passen ja schon mal.

Ein Beispiel, das gegen ein beliebiges c geht ist: a_n:= c * n, b_n:= (1/n) .

Im Beweis, musst du eigentlich kein konkretes Beispiel angeben, sondern allgemein (vielleicht indirekt ?) argumentieren.

Hier übrigens ein anderer Fall einer Produktfolge, bei dem schon ein Beweis vorhanden ist: https://www.mathelounge.de/200807/konvergente-folgen-unendlich-konvergieren-gegen-unendlich

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