Zeige, dass ⟨·, ·⟩ ein Skalarprodukt auf W × W ist

Question

Aufgabe: Sei n ∈ N und a ∈ R. Sei V der Vektorraum der n-fach stetig differenzierbaren Funktionen ℝ → ℝ. Fur f ∈ V und k≤n sei f(k) die k-te Ableitung von f. Fur ¨ f, g ∈ V definieren wir ⟨f, g⟩ :=\( \sum\limits_{k=0}^{n}{f^k(a).g^k(a)} \)
(i) Zeige. dass ⟨·, ·⟩ eine symmetrische, positiv-semidefinite Bilinearform ist. Gib außerdem
(abhängig von a und n) ein f ∈ V mit f ̸= 0 aber ⟨f, f⟩ = 0 an.
(ii) Sei W der Unterraum der Polynome uber ¨ R vom Grad maximal n, also W = R[x]≤n. Zeige,
dass ⟨·, ·⟩ ein Skalarprodukt auf W × W ist.
(iii) Bestimme eine Orthonormalbasis von W bezuglich dieses Skalarproduktes. ¨
(iv) Zeige, dass es fur jedes Element ¨ f ∈ V genau ein p ∈ W gibt, so dass f − p ∈ W⊥. Tipp:
Versuche ein lineares Gleichungssystem mit den Koeffizienten der Polynome aufzustellen.
(v) Sei T : V → W mit F(f) = p wobei p die zu f passende Funktion aus (iv) ist. Zeige, dass
T linear ist. Bestimme außerdem T(exp) und T(sin) fur ¨ a = 0.

…

Problem/Ansatz: In ii) wie kann ich die Positiv Definitheit beweisen und in iii) sollte ich das Gram Schmidt Verfahren für die Standardbasis (1,x,x^2,....x^n) anwenden

Comments

In ii) wie kann ich die Positiv Definitheit beweisen

Zunächst liest Du die Aufgabe noch einmal sorgfältig. Dann schreibst Du hin, was Du zeigen sollst ....

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Also in i) habe ich schon bewiesen , dass ⟨·, ·⟩ symmetrische und positiv semidefinite bilinearform ist , aber für den beweis des skalarprodukts in ii) muss noch bewiesen werden dass die Linearität gilt und für ein polynom p ∈ W gilt ⟨p, p⟩ = 0 => p = 0 ?

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Entschuldigung, war mit den Teilaufgaben durcheinandergekommen.

Wenn für ein Polynom vom Höchstgrad n gilt <p,p>=0, dann sind doch alle Ableitungen von p an der Stelle a gleich 0. Was folgt denn dann für die n-te Ableitung von p?

Answer 1

In ii) wie kann ich die Positiv Definitheit beweisen:

W = R[x]^≤n. Sei a f∈W\{0}. Dann ist zu zeigen <f,f>0

Es gibt  \((a_0,\dots,a_n) \in \mathbb{R}^{n+1} \) mit \(  f(x)= \sum\limits_{i=0}^n a_ix^{i}\)

und wegen f≠0 ist jedenfalls ein a_i≠0. Und die i-te Ableitung von a_ixⁱ an der

Stelle a ungleich 0 und damit deren Quadrat positiv.

Dann berechne <f,f> = \( \sum\limits_{k=0}^{n}{f^k(a)\cdot f^k(a)} \)

in der Summe sind alle Summanden Quadrate, also ≥0

und der 0-te ist jedenfalls >0, also auch <f,f> > 0.

Mit den Bezeichnungen von

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthonormalisierungsverfahrens

hast du doch w₁=1 , w₂=x, w₃=x^2 , ... w_n+1=x^n.

Und als erstes musst du bestimmen \(  v_1 = \frac{w_1}{||w_1||}  \)

Und du berechnest:

 \(  ||w_1|| = \sqrt{<w_1,w_1>} = \sqrt{ \sum\limits_{k=0}^{n}{f^k(a)\cdot f^k(a)} }\)

Nun sind ja die Ableitungen des konstanten Polynoms 1 alle gleich 0

nur  \(f^0(a)=1\). Damit ist die Summe = 1 .

Also \(  ||w_1|| = \sqrt{1} = 1 \). Und damit \(  v_1 = \frac{w_1}{||w_1||} = 1 \)

Also weiter mit v₂ :

Wenn man wie bei Wikipedia vorgeht \(   v_2' =w_2 - <v1,w2>\cdot v_1 \)

Also erstmal <v1,w2> bestimmen \(  <v_1,w_2> = \sum\limits_{k=0}^{n}{f^k(a).g^k(a)} \)

mit f=1 und g=x. Da bleibt von der Summe nur \( 1 \cdot a + 0 \cdot 1 = a \)

Also \(  v_2' =x - a \cdot 1 = x-a \),

Das muss man nun normieren, also ||x-a|| ausrechnen.

Das gibt \(  ||v_2'|| = \sqrt{<x-a,x-a>} = \sqrt{ \sum\limits_{k=0}^{n}{f^k(a)\cdot f^k(a)} }\)

mit f=x-a, also f '=1    und f ' ' =0. Dann gibt die Summe

         (a-a)*(a-a) + 1*1 + Nullen =   1  und wegen √1 = 1 hat man:

\(  v_2 =\frac{x - a} {1} \cdot 1 = x-a \).  

Nun versuche mal v₃ .

Comments

und wegen f≠0 ist jedenfalls a0≠0.

Das habe ich nicht verstanden: f(x)=x ist nicht die Null-Funktion, aber a_0=0?

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Das war auch falsch, es muss heißen:

jedenfalls eines der a_i≠0. Und bei dem ist dann die

i-te Ableitung an der Stelle a ungleich 0, also deren Quadrat >0.

Ich korrigiere das.