Messbarkeit von Funktionen. Lösung erklären

Question

(a) Seien $(X, \mathcal{A}):=(\{1,2,3,4\}, \sigma(\{1,3\}))$ und $(Y, \mathcal{B}):=(\{1,2,3,4,5\}, \sigma(\{1,3\},\{2,4\}))$. Zeigen Sie:
(i) Die Funktion $f: X \rightarrow Y$ gegeben durch
$f(x):=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \text { falls } x \text { gerade ist }, \\ 2, & \text { sonst. } \end{array}\right.$
ist $(\mathcal{A}-\mathcal{B}$ - $)$ messbar.
(ii) Die Funktion $g: X \rightarrow Y$ gegeben durch
$g(x):=x+1$
ist nicht $(\mathcal{A}-\mathcal{B}$ - $)$ messbar.

Lösung

(a) (i) Es gilt:
$f^{-1}(\{1,3\})=\{2,4\} \in \mathcal{A} \quad \text { und } \quad f^{-1}(\{2,4\})=\{1,3\} \in \mathcal{A} .$

Nach Lemma 72.3 ist $f$ damit $(\mathcal{A}-\mathcal{B}$ - $)$ messbar.
(ii) Es gilt:
$g^{-1}(\{1,3\})=\{2\} \notin \mathcal{A} .$

Wie kommt man auf die Lösung? Also wie setzt man die Mengen ein. Das verstehe ich nicht

Comments

Wie ist denn Messbarkeit definiert?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Messbare_Funktion

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Wem gilt dieser Kommentar?

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 $(X, \mathcal{A}),(Y, \mathcal{B})$ seien Messräume und $\mathcal{B}=\sigma(\mathcal{E})$. Dann gilt
$f: X \rightarrow Y \text { messbar } \Longleftrightarrow \forall E \in \mathcal{E}: f^{-1}(E) \in \mathcal{A} \text {. }$

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Das ist wohl das zitierte Lemma. Damit ist doch alles erklärt: Die Sugma Algebra für Y wird durch 2 Mengen erzeugt. Für beide wird das Urbild bestimmt, dies liegt jeweils in der Sigma Algebra für X

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Ja genau das habe ich verstanden. Aber wie komme von auf die Bestimmung des Urbildes? Also wieso ist f^-1({1,3})={2,4}?

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Hast du dir schon die Mühe gemacht, einmal hinzuschreiben, wie $f$ überhaupt aussieht? Die Funktion hat ja nur vier Funktionswerte, die kannst du doch einfach hinschreiben und dann ablesen, was alle Urbilder sind.

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f(1)=2 f(2)=1 f(3)=2 f(4)=1

Dann ist ist das Urbild von der 1 die 4 und die 2

und das Urbild von der 2 die 1 und die 3 . Oh Gott wie konnte ich das nicht sehen