Ableitungen von parametisierte Funktionen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

$f_{\mathrm{a}}(t)=\frac{a}{60}\left(1-e^{-\frac{1}{20} t}\right)-\frac{1}{600} t$

Problem/Ansatz:

Ich muss von diese Funktion die 1 und 2 Ableitung bilden, komme aber irgendwie nicht weiter.

Ich habe wirklich alles gelernt zum Thema Ableiten von Funktionen (Ketten und Produktregel usw…), aber irgendwie scheitere ich immer wenn neue Funktionen vorkommen die anders aussehen. Was könnt ihr mir empfehlen?

Comments

Dann hast Du offensichtlich irgendwas falsch verstanden beim Ableiten. Lade mal Deine Rechnung hoch, dann können wir sehen, wo's schiefgeht und helfen.

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Hallo

ob da t steht oder x ist doch egal, a also den Parameter behandelst du wie eine Zahl, da da sonst nur Konstanten stehen musst du eigentlich nur e^-1/20x ableiten können (und natürlich x )

lul

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Also das ist mein Lösungsansatz….

Text erkannt:

$\begin{array}{l}f a^{\prime}(t)=\left(\frac{a}{60}-\frac{a}{60} \cdot e^{-\frac{1}{20} t}\right)-\frac{1}{600 t} \\ =\left(e^{-\frac{1}{20}}+\cdot\left(\frac{-1}{20}\right) \cdot \frac{1}{600} t\right)+\left(\frac{a}{60}-\frac{a}{60} \cdot e^{-\frac{1}{20} t} \cdot \frac{1}{600}\right) \\ \left.=\frac{1}{600}\left(e^{-\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{20}\right) \cdot t}\right)+\frac{a}{60}-\frac{a}{60} \cdot e^{-\frac{1}{20} t}\right)\end{array}$

Answer 1

Aloha :)

In der Funktionsgleichung $f_a(t)$ taucht dei Variable $t$ in einer inneren Funktion auf (in pink dargestellt). Bei der Ableitung brauchst du daher die Kettenregel.$$f_a(t)=\frac{a}{60}\cdot\left(1-e^{\pink{-\frac{1}{20}\,t}}\right)-\frac{1}{600}\,t$$

Wir bilden die beiden ersten Ableitungen schrittweise:$$f'_a(t)=\left(\frac{a}{60}\cdot\left(1-e^{\pink{-\frac{1}{20}\,t}}\right)-\frac{1}{600}\,t\right)'$$Gemäß der Summenregel und der Faktorregel zerfällt die Ableitung in zwei Ableitungen:$$f'_a(t)=\frac{a}{60}\cdot\left(1-e^{\pink{-\frac{1}{20}\,t}}\right)'-\left(\frac{1}{600}\,t\right)'$$Für die Ableitung der Exponentialfunktion benötigen wir die Kettenregel:$$f'_a(t)=\frac{a}{60}\cdot\left(\underbrace{-e^{\pink{-\frac{1}{20}\,t}}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\left(\pink{-\frac{1}{20}}\right)}_{\text{innere Abl.}}\right)-\frac{1}{600}=\boxed{\frac{a}{1200}\,e^{\pink{-\frac{1}{20}\,t}}-\frac{1}{600}}$$

Bei der zweiten Ableitung brauchen wir wieder die Kettenregel:$$f''_a(t)=\left(\frac{a}{1200}\,e^{\pink{-\frac{1}{20}\,t}}-\frac{1}{600}\right)'=\frac{a}{1200}\left(e^{\pink{-\frac{1}{20}\,t}}\right)'-\underbrace{\left(\frac{1}{600}\right)'}_{=0}$$$$f''_a(t)=\frac{a}{1200}\underbrace{e^{\pink{-\frac{1}{20}\,t}}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\left(\pink{-\frac{1}{20}}\right)}_{\text{innere Abl.}}=\boxed{-\frac{a}{24\,000}\,e^{\pink{-\frac{1}{20}\,t}}}$$

Answer 2

Da hast Du nicht nur falsch abgeleitet, sondern den ganzen Ausdruck falsch gelesen. Wir haben hier die Form

$f_a(t)=\frac{a}{60}\cdot g(t)-\frac1{600}t$

mach dir das erstmal klar. Und damit ist

$f_a'(t)=\frac{a}{60}\cdot g'(t)-\frac1{600}$.

Versuch es damit nochmal.

Answer 3

Faktor-, Summen- und Kettenregel anwenden:

1. Ableitung

a/1200*e^(-t/20) -1/600

2. Ableitung:

-a/24000*e^(-t/20)

Sehr hilfreich bei solchen Aufgaben:

https://www.ableitungsrechner.net/