Gleichung mit Binomialkoeffizient lösen

Question

Löse folgende Gleichung:

\( \frac{n!}{(n-4)!} = 24 \cdot \frac{n!}{(n-2)! \cdot 2!}\).

Durch umformen bin ich hierauf gekommen:

\(1 = 24 \cdot \frac{(n-4)!}{(n-2)! \cdot 2!}\)

2!=2 ist mir bewusst doch was genau bedeutet (n-4)! bzw. (n-2)! lösen sich diese ggf. irgendwie auf oder lässt sich irgendwas kürzen?

Answer 1

Wie sich das kürzen lässt, sieht man gut durch Zahlenbeispiele oder, indem man es mal ausschreibt:

\( (n-2)!=(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)\cdot...\cdot 1 \)

\( (n-4)!=(n-4)(n-5)(n-6)\cdot ...\cdot 1 \)

Alternativ:

Wegen \( 24=4! \) steht nach Division auf der linken Seite \( \binom{n}{4} \) und auf der rechten Seite \( \binom{n}{2} \). Die Lösung sieht man dann hoffentlich sofort aufgrund der Symmetrie des BK.

Comments

bleibt also übrig (n-2)(n-3). dann durch umformen:

n²-5n-6=0 das dann mit pq formel lösen erhalte ich n=6 oder n=-1. n=-1 nicht möglich also nur n=6 lösung.

soweit verstanden aber woher weiß man denn, dass das:

\( (n-2)!=(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)\cdot...\cdot 1 \)
\( (n-4)!=(n-4)(n-5)(n-6)\cdot ...\cdot 1 \)

so gilt.

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Das ist doch die Definition der Fakultät.

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ja habs jetzt eben auch verstanden sorry

trotzdem danke

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Habe noch eine schnellere Alternative ergänzt. ;)

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verstehe das nicht ganz was genau mit

nach Division

gemeint ist

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Gleichung durch 24 teilen.

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\(1 = 24 \cdot \frac{(n-4)!}{(n-2)! \cdot 2!}\) durch 24 teilen erhalte ich doch auf der linken seite dann 1/4 oder nicht wie komm ich da dann auf \(\begin{pmatrix} n\\4 \end{pmatrix}\)

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Gehe von der ursprünglichen Gleichung aus.

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okay das mach ich dann heute später danke dir