Funktionen mit Parametern

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar

f_k(x) = (x + k) • e^-x     , k ∈ ℝ

Leiten Sie die Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte in Abhängigkeit des Parameters k her und geben Sie die Koordinaten der Punkte an! [Hinweis: Denken Sie an die rechnerische Begründung, ob ein Tief- oder Hochpunkt vorliegt.]

Mit Begründung, dass die Extrempunkte auf einer Kurve (=Ortskurve) liegen und leiten Sie die passende Funktionsgleichung zur Ortskurve her!

Im Folgenden sei k = 2. Die Wendetangente schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche!…

Problem/Ansatz:

Answer 1

Nullstellen:

f(x) = 0, Satz vom Nullprodukt

Extrempunkte:

f '(x) = 0

Ergebnis in f ''(x) einsetzen.

f''(x) < 0 -> Max.

f ''(x) > 0 -> Min.

Wendepunkte:

f ''(x)= 0

Ortskurve:

https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/ortskurve-extrempunke-wendepunkt.html

Answer 2

Im Folgenden sei k = 2. Die Wendetangente schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche!…

f2(x) = e^(-x)·(x + 2)

Wendestelle

f2''(x) = x·e^(-x) = 0 → x = 0

Wendetangente

t(x) = f2'(0)·(x - 0) + f2(0) = 2 - x

Dreiecksfläche

A = 1/2·2·2 = 2 FE

Skizze

~plot~ e^(-x)(x+2);2-x ~plot~