Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen eingeschlossen wird und zeigen Sie, dass die …

Question

Aufgabe:

f(x)=2$\sqrt{x}$

g(x)=0,25x²

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen eingeschlossen wird und zeigen Sie, dass die Winkelhalbierende im ersten Quadranten die Fläche halbiert.

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits die Fläche berechnet. Allerdings weiß ich nicht wie ich zeigen soll, dass die Gleichung y=x genau durch die Mitte geht und damit die Fläche teilt.

Answer 1

Berechne den Flächeninhalt zwischen $f$ und $h(x) = x$.

Teile dem Flächeninhalt zwischen $f$ und $g$ durch 2 und staune.

Answer 2

Aloha :)

1) Besimme die Fläche zwischen der grünen und der roten Kurve.

2) Besimme die Fläche zwischen der roten und der blauen Kurve.

3) Die Summe von (1) und (2) ist die Gesamtfläche.

4) Die Flächen aus (1) und (2) sollten gleich groß sein.

zu 1) Fläche zwischen $\green{f(x)=2\sqrt x}$ und $\red{h(x)=x}$

a) Schnittpunkte ermitteln:$$\green{f(x)}=\red{h(x)}\implies 2\sqrt x=x\implies\sqrt x(\sqrt x-2)=0\implies x=0\;\lor\;x=4$$

b) Fläche berechnen:$$F_1=\int\limits_{x=0}^4\left(\green{f(x)}-\red{h(x)}\right)dx=\int\limits_{x=0}^4\left(2x^{\frac12}-x\right)dx=\left[2\,\frac{x^{\frac32}}{\frac32}-\frac{x^2}{2}\right]_{x=0}^4$$$$\phantom{F_1}=\left[\frac43x\sqrt x-\frac{x^2}{2}\right]_{x=0}^4=\frac43\cdot4\cdot2-\frac{16}{2}=\frac{32}{3}-8=\frac{32}{3}-\frac{24}{3}=\frac83$$

zu 2) Fläche zwischen $\red{h(x)=x}$ und $\blue{g(x)=\frac14x^2}$

a) Schnittpunkte ermitteln:$$\red{h(x)}=\blue{g(x)}\implies x=\frac14x^2\implies\frac x4(x-4)=0\implies x=0\;\lor\;x=4$$

b) Fläche bestimmen:$$F_2=\int\limits_{x=0}^4\left(\red{h(x)}-\blue{g(x)}\right)dx=\int\limits_{x=0}^4\left(x-\frac14x^2\right)dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac14\,\frac{x^3}{3}\right]_{x=0}^4$$$$\phantom{F_1}=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{12}\right]_{x=0}^4=\frac{16}{2}-\frac{64}{12}=8-\frac{16}{3}=\frac{24}{3}-\frac{16}{3}=\frac83$$

Die Gesamtfläche beträgt $F_1+F_2=\frac{16}{3}$.

Die Flächen $F_1=\frac83$ und $F_2=\frac83$ sind gleich groß.

Answer 3

Ganz anderer Ansatz ohne Integrale: für $x \geq 0$ sind die Funktionen $f$ und $g$ Umkehrfunktionen zueinander. Ihre Graphen spiegeln sich also an der 1. Winkelhalbierenden. Folglich halbiert sie die zwischen den Graphen befindliche Fläche.