Aloha :)
1) Besimme die Fläche zwischen der grünen und der roten Kurve.
2) Besimme die Fläche zwischen der roten und der blauen Kurve.
3) Die Summe von (1) und (2) ist die Gesamtfläche.
4) Die Flächen aus (1) und (2) sollten gleich groß sein.
zu 1) Fläche zwischen \(\green{f(x)=2\sqrt x}\) und \(\red{h(x)=x}\)
a) Schnittpunkte ermitteln:$$\green{f(x)}=\red{h(x)}\implies 2\sqrt x=x\implies\sqrt x(\sqrt x-2)=0\implies x=0\;\lor\;x=4$$
b) Fläche berechnen:$$F_1=\int\limits_{x=0}^4\left(\green{f(x)}-\red{h(x)}\right)dx=\int\limits_{x=0}^4\left(2x^{\frac12}-x\right)dx=\left[2\,\frac{x^{\frac32}}{\frac32}-\frac{x^2}{2}\right]_{x=0}^4$$$$\phantom{F_1}=\left[\frac43x\sqrt x-\frac{x^2}{2}\right]_{x=0}^4=\frac43\cdot4\cdot2-\frac{16}{2}=\frac{32}{3}-8=\frac{32}{3}-\frac{24}{3}=\frac83$$
zu 2) Fläche zwischen \(\red{h(x)=x}\) und \(\blue{g(x)=\frac14x^2}\)
a) Schnittpunkte ermitteln:$$\red{h(x)}=\blue{g(x)}\implies x=\frac14x^2\implies\frac x4(x-4)=0\implies x=0\;\lor\;x=4$$
b) Fläche bestimmen:$$F_2=\int\limits_{x=0}^4\left(\red{h(x)}-\blue{g(x)}\right)dx=\int\limits_{x=0}^4\left(x-\frac14x^2\right)dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac14\,\frac{x^3}{3}\right]_{x=0}^4$$$$\phantom{F_1}=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{12}\right]_{x=0}^4=\frac{16}{2}-\frac{64}{12}=8-\frac{16}{3}=\frac{24}{3}-\frac{16}{3}=\frac83$$
Die Gesamtfläche beträgt \(F_1+F_2=\frac{16}{3}\).
Die Flächen \(F_1=\frac83\) und \(F_2=\frac83\) sind gleich groß.
