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Aufgabe: Zusammengesetzten Erwartungswert mit poissonverteilter Zufallsvariable.

Sei X eine poissonverteilte Zufallsvariable. Berechnen sie E[1(X+1)(X+2)]E[\frac{1}{(X+1)(X+2)}].


Problem/Ansatz:


xWx1(x+1)(x+2)eλλxx!\sum_{x \in W_x} \frac{1}{(x+1)(x+2)} \cdot e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^x}{x!}

=eλk=0λkk!1(k+1)(k+2)= e^{-\lambda} \cdot \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} \cdot \frac{1}{(k+1)(k+2)}


Nun sieht das Ganze der Reihendarstellung der e-Funktion ja schon sehr ähnlich. Ich verstehe nur noch nicht, was ich mit dem Bruch machen soll.

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Es würde sicher helfen, wenn Du die Reihe mal ordentlich aufschreibst: Was soll i, was soll k, was soll X.....

Ja richtig, hatte die Indizes durcheinander geschmissen.

Die x sind hierbei die Werte, die die poissonverteilte Zufallsvariable annehmen kann.

Da diese allerdings die gesamten natürlichen Zahlen als Wertebereich hat, habe ich die Summe zu einer Reihe mit Index k umgeschrieben.

k=0λkk!1(k+1)(k+2)=k=0λk(k+2)!=1λ2k=0λk+2(k+2)!=eλλ1λ2.\sum_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}\cdot\frac1{(k+1)(k+2)}=\sum_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{(k+2)!}=\frac1{\lambda^2}{\cdot}\sum_{k=0}^\infty\frac{\lambda^{k+2}}{(k+2)!}=\frac{e^\lambda-\lambda-1}{\lambda^2}.

Jetzt bin ich gespannt, wer dieser Antwort als "Antwort" abschreibt.

Das Zusammenfassen zu (k+2)! verstehe ich. Dass man

1λ2\frac{1}{\lambda^{2}} rauszieht ebenfalls. Kannst du aber den letzten Schritt bitte etwas genauer erklären?

k=0λk+2(k+2)!=k=2λkk!=k=0λkk!k=01λkk!=eλ(1+λ).\sum_{k=0}^\infty\frac{\lambda^{k+2}}{(k+2)!}=\sum_{k=2}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}-\sum_{k=0}^1\frac{\lambda^k}{k!}=e^\lambda-(1+\lambda).

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