Poisson, Zufallsvariable, Likelihood

Question

Aufgabe:

Seien X₁, . . . , X_n unabhängige und identisch Pois(λ)-verteilte Zufallsvariablen,
wobei der Parameter λ > 0 unbekannt ist.
a) (3P) Zeigen Sie für die Likelihood-Funktion L, dass
\( \frac{∂}{∂ λ} \) log (L(λ, k₁, . . . , k_n)) = -n + \( \frac{1}{λ} \)  ∑ⁿ_i=1k_i

für alle  k₁, . . . , k_n ∈ N₀.
b)  Berechnen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer λ_n (hier λ mit Dach â) für  λ. 
c)  Zeigen Sie, dass λ_n (hier λ mit Dach â) erwartungstreu ist.
d)  Berechnen Sie Var(λ_n) (hier λ mit Dach â) in Abhängigkeit vom wahren Parameter λ.
e)  Entscheiden Sie ob λ_n (hier λ mit Dach â) konsistent ist.