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Aufgabe:

Finde die erste zweite und dritte Ableitung von  p(t)=80+120t*e-0,5*t

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Produktregel anwenden:

p'(t) = 120*e^-0,5t + 120t*(-0,5)e^-0,5t = e^-0,5t*(120-60t)

p''(t):

u= e^-0,5t, u'= -0,5e^-0,5t

v= 120-60t, v'= 0,25e^-0,5t

...


Zur Kontrolle:

https://www.ableitungsrechner.net/

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Hier brauchst du eine Kombination aus Produktregel und Kettenregel.

Die innere Funktion habe ich in pink dargestellt.$$p'(t)=\left(80+\underbrace{120t}_{=u}\cdot\underbrace{e^{\pink{-0,5t}}}_{=v}\right)'=\underbrace{120}_{=u'}\cdot\underbrace{e^{\pink{-0,5t}}}_{=v}+\underbrace{120t}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{e^{\pink{-0,5t}}}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{(\pink{-0,5})}^{\text{innere Abl.}}}_{=v'}$$$$\phantom{p'(t)}=120\cdot e^{\pink{-0,5t}}-60t\cdot e^{\pink{-0,5t}}=(120-60t)\cdot e^{\pink{-0,5t}}$$

Bei der zweiten Ableitung gehst du nach dem gleichen Prinzip vor:$$p''(t)=\left(\underbrace{(120-60t)}_{=u}\cdot \underbrace{e^{\pink{-0,5t}}}_{=v}\right)'$$$$\phantom{p''(t)}=\underbrace{(-60)}_{=u'}\cdot \underbrace{e^{\pink{-0,5t}}}_{=v}+\underbrace{(120-60t)}_{=u}\cdot \underbrace{\overbrace{e^{\pink{-0,5t}}}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{(\pink{-0,5})}^{\text{innere Abl.}}}_{=v'}$$$$\phantom{p''(t)}=-60\cdot e^{\pink{-0,5t}}+(-60+30t)\cdot e^{\pink{-0,5t}}=(30t-120)\cdot e^{\pink{-0,5t}}$$

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\(p(t)=80+120t•e^{-0,5t}\)

\(p(t)=80+\frac{120t}{e^{0,5t}}\)

Ableitung mit der Quotientenregel: \( \frac{Z'•N-Z•N'}{N^2} \)

\(p'(t)=\frac{120•e^{0,5t}-120t•e^{0,5t}•0,5}{(e^{0,5t})^2}\)   Nun kürzen. (Hier gilt nicht der Spruch: " Aus Differenzen und aus Summen kürzen nur die Dummen." Warum wohl? )

\(p'(t)=\frac{120-120t•0,5}{e^{0,5t}}=\frac{120-60t}{e^{0,5t}}\)

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